问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试
计算 v4.9t1.31的 值 ,同时观察讨论，表格中
的数据有着怎样的规律？
Δt
-0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001
……….
v
-12.61
-13.051 -13.0951 -13.09951 -13.099951
….
Δt
4
❖ 什么是瞬时速度呢？ ❖ 如何求瞬时速度呢？
5
1.1.2导数的概念
6
我们把物体在某一时刻的速度称为
瞬时速度.
又如何求 瞬时速度呢?
问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度， 如t=2时刻的瞬时速度？
平均变化率
提示：可以通过研究它附近的平均速度变化情 况来寻找到问题的思路
vh(2t)h(2) 4.9 t1.1 3 t 8
49
思考下面的问题： （1）运动员在这段时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态 有什么问题吗？
3
平均速度不一定能反映运动员在某一时 刻的运动状态，可以看出，平均速度只 能粗略地描述物体在某段时间内的运动 状态，为了能更精确地刻画物体运动， 我们有必要研究某个时刻的速度即
瞬时速度。
高中数学选修2-2
1.1.2 导数的概念
灵山中学
王婧
1
回顾上节课中的探究问题 ：见课本第3页
2
在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h （单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存 在函数关系 h(t4 ) .29 6t. 5 10 t计算运动员 在 0 t 6 5 这段时间里的平均速度，并
变式练习： 例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对
原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: C)为 f
(x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时
变化率, 并说明它们的意义.
练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说 明它们的意义.
归纳总结
❖1、瞬时速度的概念 ❖2、导数的概念 ❖3 、求导数的方法：一平二极
பைடு நூலகம்22
作业安排
❖ （必做）第10页习题A组第2、3、4 题 ❖ （选做）：思考第11页习题B组第1题
23
24
由导数的 ,我定 们义 知 ,高道 度 h关于时 t的间 导数 就是运动员的 ;气瞬 球时 半 r关速 径 于度 体 V的积 导数就是气球 胀的 .率瞬时膨
实际上，导数可以描述任何事物的 瞬时变化率，如效率、点密度、国 内生产总值GDP的增长率，等等。
可见导数具有着广泛的实际应用价 值。
18
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,
li m ylim f(x0 Δ x)f(x0)
x x 0
x 0
x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
f ( x0 ) 或 y |xx0, 即
f(x 0 ) lx i0 m y x lx i0m f(x 0 Δ x )x f(x 0 ).
15
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)在x=x0的导数的一般方法:
需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单
位: C )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h,
原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是
f (2)和 f (6).
根据导数的定义,
t 0
t
探 究: 1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
lim h(t0t)h(t0)
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t0
t
lim(4.9t
t0
9.8t0
6.5)
9.8t0 6.5
问题三：气球在体积 v 0 时的瞬时膨
胀率如何表示呢？
r (v ) 3 3v
yf(2x)f(2) 4x(x)27xx3
x
x
x
所以,
f(2)li m yli(m x3 ) 3. x 0 x x 0
同理可得 f(6)5.
在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说 明在第2h附近, 原油温度大约以3 C / h的速率下降; 在第6h附近, 原油温度大约以5 C / h的速率上升.
4
limr(v0v)r(v0)
v0
v
12
问题四：函数f (x)在 x = x 0 处的瞬
时变化率怎样表示?
lim f(x0Δ x)f(x0)li m y
x 0
x
x 0x
13
瞬时变化率
导数
瞬时变化率与导数是 同一概念的两个名称。
14
定 义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
(1).f(x0)与 x0的值有关x， 0其不 导同 数的 值一;般
f (x0)与x的具体取值无关。
课堂练习:
1、如果质点A按规律 s2t3 则在t=3s
时的瞬时速度为
C
A.6
B.18
C.54 D.81
2、已知一个物体运动的位移（m）与时
间t（s）满足关系s(t)2t25t （1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度 （2）求物体在 t 0 时刻的瞬时速度
0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001
…….
v
-13.59
-13.149 -13.1049
-13.10049
-13.100049
…
9
t=2当△t趋近于0时,即无论 △t 从小于 2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.
lim h(2t)h(2) 1.3 1
1.求平均变化率 yf(x0x)f(x0);
x
x
2. 取极限求值
f
(x0)
limy. x0 x
一平、二极
同学们可以这么记求导数的方法：“一贫而急”
17世纪,力学、航海、天 文等方面取得了突飞猛 进的发展,这些发展对数学提出新了的要求,它们 突出地表现为本章引言中到 提的四类问题,其中 的两类问题直接导致导了数的产生:一是根据物 体的路程关于时间的数函求速度和加速;度二是 求已知曲线的切.线