= 1.
？ : 45
思考一个问题 把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？
~ 求曲线方程的方法：
定义法：如果所给几何条件正好符合某 一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可 直接利用定义写出动点的轨迹方程.
待定系数法：所求曲线方程的类型已知， 则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求 出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定 型，再定量”.
y y P
F2 P
F1 O F2
x
O
x
F1
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
x2 + y2 = 1a > b > 0
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
点 焦点位置的判断
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
F1 o F2
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？ (1)两条射线
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？ (2)不表示任何轨迹 （3）若2a=0,则轨迹是什么？ (3)线段F1F2的垂直平分线
定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 （小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
y
M
y M
不
典例分析
求椭圆的标准方程 （1）首先要判断类型，
（2）用待定系数法求 a, b
a2=b2+c2
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
y
∵ 2a=10, 2c=8
a b 2
2
由椭圆的定义知
2a =
5 2
2
+
2
+
-
3 2
2
+
5 2
-
2
2
+
-
3 2
2
=2
10
所以a = 10. 又因为c = 2,所以b2 = a2 - c2 = 10 - 4 = 6.
因此，所求椭圆的标准方程为 x2 + y2 =1. 102 62
变式引申：求焦点在y轴上，且经过点A(1 , 1)、B(0,- 1)的
焦点坐标
半轴长
离心率 a、b、c的关 系
(c,0)、(-c,0)
(0 , c)、(0, -c)
长轴长为2a,短轴长为2b. 焦距为2c
e c a
(0<e<1)
c2=a2-b2
椭圆离心率的取值范围？离心率变 化对椭圆的扁平程度有什么影响？ e∈(0，1). e越接近于0，椭圆越圆； e越接近于1，椭圆越扁.
§2.2 双曲线
1、双曲线的定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
说明
（1）2a<2c ；
思考：
（2）2a >0 ；
圆锥曲线与方程知识点汇总
§2.1 椭圆
1、椭圆的定义：
M
F1
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于 常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距。
MF1 MF2 2a
椭圆形成演示 椭圆定义.gsp
F1F2 2c 2a 2c 0时,为椭圆
满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？
❖ (1)平面上----这是大前提 ❖ (2)动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和
是常数 2a ❖ (3)常数 2a 要大于焦距 2c
MF1 MF2 2a 2c
4
定义
不
图形
同
点
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
图象 范围
y
xa
o
或
x x a
ya
或
y a
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
关于 坐标 轴和
(a,0) y b x
a
e c a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
17
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、
典例分析 (参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1(5, 0) , F2(5, 0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线,
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
图形
同
F1 O F2 x
F x
2O
F
点
1
标准方程
x2 a2
y2 b2
1(a
0,b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0,b 0)
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同
点 焦点位置的判断
c2=a2+b2
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上
∴可设所求方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 . 9 16
2、双曲线的简单几何性质：
性 双质 曲 线
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
2、椭圆的简单几何性质：
标准方程 图象
范围
x2 a2
y2 b2
1(a yP
b
0)
F1 OF2 x
-a≤x≤a,
x2 b2
y2 a2
1(a
b 0)
y
F2 P
O
F1
x
-b≤x≤b,
-b≤y≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴为x轴、y轴；对称中心为原点
顶点坐标
(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)
F1 o
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为
x2 25
y2 9
1
M
F2 x
例2. 已知椭圆的两个焦点坐标分别为（- 2，0）， （2，0）并且经过点（5 ，- 3 ），求它的标准方程.
22
解 :因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2 + y2 =1(a > b > 0).
33
2
椭圆的标准方程.
解：设所求椭圆的方程为 y 2 + x 2 = 1,
a2
b2
将A( 1 , 1 ), B(0, - 1 )代入得：
33
2
1 2 3 a2
+
1 2 3 b2
-
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
a2
=1
=1 ,
解得：a2 b2
= =
1 4 1
, .
5
故所求椭圆的标准方程为
y2 1
+
x2 1