研究生“矩阵论”课程课外作业
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矩阵论在人口迁移问题中的应用
摘要
本文根据矩阵论的理论解决实际中的人口迁移问题，做出简单的分析和概括。

文中运用方阵函数
()f A 的相关基本理论来解决这一实际问题，使得实际问题得
到简化解决，最终得出人口迁移问题的最终结论。

1、待解决问题内容：
假设有两个地区—如北方和南方，之间发生人口迁移，每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：
问题：这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部搬到南方？如果会请说明理由；如果不会，那北方的人最终人口分布会怎样？
2、基本术语解释
方阵函数
()f A ：最简单的方阵函数是矩阵多项式
01()n n B f A a E a A a A ==+++，其中,n n i A C a C ⨯∈∈。

一般运用
复变幂级数的和函数定义方阵幂级数和函数—方阵函数。

3、基本理论阐述：
1、Hamilton-Cayley 定理： 设矩阵A 的特征多项式为()f λ，则有()0f A =。

设A 的特征多项式为：
()1101n n n f a a a λλλλ--=++
++
Hamilton-Cayley 定理表明：
()11010n n n f A A a A a A a E --=++
++=，即方阵函数可以由
1,,
,,n n A A A E -的线性组合表示。

方阵函数是多项式
()01f A a E a A =++
，其中,n n
i A C
a C ⨯∈∈。

2、最小多项式的相关理论：
定义1：A 是n 阶方阵，()f λ是方阵A 的特征多项式。

如果有()0f A =，
则称
()f λ是方阵A 的零化多项式。

由Hamilton-Cayley 定理知一个矩阵的零化
多项式一定存在。

定义2：在n 阶方阵A 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为A 的最小多项式。

设n n
A C ⨯∈的最小多项式为12
12()()()()s t t t
s m λλλλλλλ=---
其中12
s t t t t ++
+=，(,,1,2,
,)i j i j i j s λλ≠≠=，而方阵函数()f A 是
收敛的方阵幂级数
k k k a A ∞
=∑的和函数，即 0
()k k k f A a A ∞
==∑
设1011()t t T b b b λλλ--=++
+，使
()
()
()()l l i i f
T λλ= 1,2,
,0,1,
,1i i s l t =⎛⎫
⎪=-⎝⎭，则0
()()k
k k T A f A a A ∞===∑ 3、运用
()f z 在A 上的谱值计算方阵函数()f A 的理论：
设n 阶方阵A 的最小多项式为12
12()()()()s t t
t
s m λλλλλλλ=---，
其中2,,
,s λλλ是
A 的互不相同的特征根。

如果复函数
()f z 及其各阶导数
()()l f z 在(1,2,
,)i z i s λ==处的导数值，即
()
()
()l l i i
l d f z f
z dz
λλ==1,2,,0,1,,1i i s l t =⎛⎫
⎪=-⎝
⎭
均为有限值，便称函数()f z 在方阵A 的谱上给定，并称这些值为()f z 在A 上
的谱值。

4、报告正文
根据所给条件，设南方和北方第一年的人口数量分别为s 和n ，第n 年人口数量分别为n x 和n y 。

根据题意可以列出下式：
220.750.50.250.5x s n
y s n =+⎧⎨
=+⎩ 322
322
0.750.50.250.5x s n y s n =+⎧⎨
=+⎩ …….
以此类推，可得到一个递推公式：
11
11
0.750.50.250.5n n n n n n x s n y s n ----=+⎧⎨=+⎩
将其写成矩阵形式：
110.750.50.250.5n n n n x s y n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
令0.750.50.250.5A ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭，同理可得110.750.50.250.5n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11n n n x s A y n ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
那么，问题转化为在n →∞时，lim n
n A →∞
为多少的问题了。

下面利用
()f z 在A 上的谱值计算方阵函数n A ：
0.750.5()(0.25)(1)0.250.5f E A λλλλλλ--⎛⎫
=-==-- ⎪
--⎝⎭
得到A 的特征值：1
20.25,1λλ==
矩阵A 的最小多项式为()(0.25)(1)m λλλ=--，设01n A a E a A =+
可得方程组如下：
01010.250.251
n
a a a a ⎧+=⎨
+=⎩ 解得：01141441(),()334334
n n a a =-+=-
141441()()334334211221()()334334111111()()334
334n
n n n n n n A E A
⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫+- ⎪= ⎪ ⎪-+ ⎪
⎝⎭ 则21122122()()33433433lim lim 11111111()()334
33433n n n
n n n n A →∞
→∞
⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
则有：2233
1133n n x s n y s n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
由上知：如果这个移民过程持续下去，北方的人不会全部都到北方，南北人
口将为一个稳定的值保持不变，北方人口将是11
33s n +，南方人口将是
22
33s n +。

5、报告结论
本文通过运用矩阵论的基本原理来解决实际的人口迁移问题，将解决实际问题转化为数学模型，通过解方阵函数
()f A 和n A 以及lim n n A →∞
从而解决了实际模
型。

通过以上分析，所给南北两方人口迁移的最终结果是：北方人口不会全部到
南方，北方的最终人口分布为：31的初始北方人口加3
1
的初始南方人口。