x(n) h(n)
线性卷积的性质（续）
3、分配律：
y(n) x(n) h1 (n) h2 (n)
x(n) h1 (n) x(n) h2 (n)
易证明：
x(n) (n) x(n) x(n) (n n0 ) x(n n0 )
若两序列长度分别为M和N，则其线性卷积的长 度为M+N-1。
线性卷积的计算——多项 式乘法
• 设有两个多项式：
a( x) a0 a1 x a 2x 2 a3 x 3 b( x) b0 b1 x b2 x 2 b3 x 3
它们的乘积记为：
a( x)b( x) c( x) c0 c1 x c2 x 2 c3 x 3
则
n
cn ak bnk
y(n) T[x(n)] T[ x(m) (n m)]
m
x(m)T[ (n m)] x(m)h(n m)
m
m
x(n) h(n)
线性卷积的性质
1、交换律：
2、结合律： y(n) x(n) h(n) h(n) x(n)
y(n) x(n) h1(n) h2 (n) x(n) h2 (n) h1(n) x(n) h1(n) h2 (n)
感谢下 载
时不变（Time-Invatiance）系统
• 定义：系统对输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，这种系统称为时不变系统 。
可用公式表示为： y(n)=T[x(n)] y(n-n0)=T[x(n-n0)]（n0为任意整数）
• 线性时不变系统简称为：LTI • 在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。
时域离散系统的定义
• 定义：将输入序列变换成输出序列的一种运算系统。 若用符号T[•]表示这种运算关系，则其输入与输出之间的关系可表示为 ： y(n)=T[x(n)] 其框图：
x(n)
y(n)
T[•]
时域离散系统
线性（Linearity）系统
• 定义：满足线性叠加原理的系统称为线性系统。 设y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)] 那么，线性系统一定满足： T[x1(n) +x2(n)]=y1[n]+y2[n] T[ax1(n)]=ay1[n]（a为常数） 即T[ax1(n) +bx2(n)]=ay1[n]+by2[n] 例2-1 证明y(n)=ax(n)+b（a和b为常数）所代表的系统是非性线系统。 练习：设一系统的输入输出关系为 y[n]=x2[n] 试判断系统是否为线性？
证明：
h(n)
n
系统因果、稳定性判定
例：若描述某离散系统特性的单位脉冲响应为：
试讨论系统的因果h性(n与)稳定性a。nu(n 1)
解答： 因果性： 因在n<0时，h(n)≠0，故系统为非因果系统。 稳定性：
1
h(n)
1
an
a
n
a
1
a 1 稳定
n
n
n1
a 1 不稳定
感谢下 载
利用多项式除法在已知y(n)和x(n)后可求h(n)！
利用多项式乘法求解线性卷积示例2 已知离散信号x(n)的波形如下图所示，试求y(n)=x(2n)*x(n)，并绘 出y(n)的波形。
x
1 (n)
0.5
n ０１２３４ ５ ６
线性卷积的计算——MATLAB
• MATLAB设计了conv(x1，x2)函数来实现卷积的计算。
系统的因果性表明了系统的物理可实现性。如果系统的输出与将来的输 入有关，该系统为非因果系统，是物理不可实现的。
• 线性时不变系统具有因果性的充要条件：
即要求描述系统系统的h(n)为一因果序列。
h(n) h(n)u(n)
系统的稳定性
• 定义：稳定系统是指系统输入有界，则输出也是有界的。 • 系统稳定的充要条件是：
LTI系统输入与输出之间的关系示例 例：设h1(n)系统与h2(n)系统级联，
x(n) h1(n) m(n) h1(n) y(n)
x(n) u(n)
h1(n) (n) (n 4)
h2 (n) anu(n)
求系统输出y(n)。
系统的因果性
• 定义：若系统在n时刻的输出只取决于n时刻和n时刻以前的输入，而 与n时刻以后的输入无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为 因果系统。
k0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
xn的系数cn表示与卷积公式类似！
利用多项式乘法求解线性卷积示例1 设x(n)={2，1，5}，h(n)={3，1，4，2}。 求y(n)=x(n)*h(n)。 解：
314 X2 2 1
155 5 20 3 101 4 +) 6 22 8 46 5 24 13 22 10 y(n)={ 6, 5, 24, 13, 22, 10 }
线性卷积的计算——图解法
（1）将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，再将h(m)翻转形成h(-m)； （2）将h(-m)移n位，得到h(n-m)。当n>0，序列右移；n<0，序列左移； （3）将x(m)和h(n-m)相同m的序列值对应相乘，序列值再相加。 对所有的n重复这种运算。
例：设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。
1 01 23 4 567 n
线性卷积的计算——解析法 • 将x(n)和h(n)表示为单位采样序列的移位加权和，再利用卷积公式 计算。 例：设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)。 x(n) (n求)y(n)=(x(nn)*h1()n) (n 2) (n 3) h(n) (n) (n 1) (n 2) (n 3) y(n) x(n)* h(n) [解答] x(n) *[ (n) (n 1) (n 2) (n 3)] x(n) x(n 1) x(n 2) x(n 3) (n) (n 1) (n 2) (n 3) (n 1) (n 2) (n 3) (n 4) (n 2) (n 3) (n 4) (n 5) (n 3) (n 4) (n 5) (n 6) (n) 2 (n 1) 3 (n 2) 4 (n 3) 3 (n 4) 2 (n 5) (n 6)
例2-2 检查y(n)=ax(n)+b（a，b为常数）所代表的系统是否是时不变系统。 Yes 例2-3 检查y(n)=nx(n) 所代表的系统是否是时不变系统。 No
线性时不变系统的基本元件
LTI系统输入与输出之间的关系 • 定义：系统对于(n)的零状态响应，用h(n)表示。 h(n)=T[(n)] • 线性时不变系统任意激励x(n)下的响应y(n)与h(n)间的关系：
图已知解：法x(n)求 R卷4(n)积, h和(n) 示R4例(n)。
求： y(n) x(n) h(n)
解：
1
R4(n)
R4(1-m)
1
n 0 1 23
R4(m)
1
R4(n)
n 0 1 23 m
R4(-m)
1
n -3 -2-10
n -2-10 1
R4(2-m)
1
n
-10 1
y(n)
2
4 3 2