P
kL 2n
为求最小临界力， “ k”应取除零以外的最小值，即取：
kL2
所以，临界力为：
42EI 2EI
Pcr L2 (L/2)2
=0.5
例12-2-2 求下列细长压杆的临界力。
解：①、绕
y 轴，两端铰支：=1.0，I y
b3h 12
,
Pcry
2 EI y L22
②、绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
P y
P y
x
M
P
x
①、弯矩： M(x,y)Py
P ②、挠曲线近似微分方程：
yM P y EI EI
yPyyk2y0 EI
其 中: k2 P EI
③、微分方程的解： yA six n B co xs ④、确定积分常数： y(0)y(L)0
即 : A As0 in kB L B 0coksL 0
1、理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
2、压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
3、压杆失稳：
4、压杆的临界压力
临界状态
稳
对应的
定
平过
衡
压力
临界压力:P
cr
不 稳 度定 平 衡
§12－2 细长压杆临界力的欧拉公式 一、两端较之压杆的临界力:
假定压力以达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠 曲线入手，求临界力。
P
解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
M0
P
x
x
M
E y I M (x ) P M y
令:k2 P EI
EyIk2yk2 M P
y M0 P
y
ycco ks xdsiknx
边界条件为:
M0
P
x 0 ,y y 0 ; x L ,y y 0
cM ,d0,k L 2n 并 k L n
第十二章 压杆稳定
§12–1 压杆稳定性的概念 §12–2 细长压杆临界力的欧拉公式 §12–3 超过比例极限时压杆临界应力 §12-4 压杆的稳定校核及其合理截面
§12－１ 压杆稳定性的概念
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1 不稳定平衡
2 稳定平衡
3 稳定平衡和不稳定平衡
一、压杆失稳与临界压力 ：
=0.7，
bh3 Iz 12 ,
Pcrz
2EIz
(0.7L1 )2
③、压杆的临界力 P crmiP cnr,y(P cr)z
例12-2-3 求下列细长压杆的临界力。
解：图（a）
P
Im in 51 0 12 30 11 02 4.1 7 19 0 m 4
Pcr
2Im (1l
inE )2
24.17200
P的杆为中小 临 柔 界 度 力 杆 不 ， 能 求 其 用 。 欧拉公
二、中小柔度杆的临界应力计算
1、直线型经验公式
①、P<<S 时： cr ab crabs
s a
b
s
s P的杆为中柔度 界杆 应， 力其 用临 经验公式
②、S< 时： cr s
S的杆为小柔度 界杆 应， 力其 为临 屈
cr
S
cr a b
1、理想压杆； 2、线弹性范围内； 3、两端为球铰支座；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
P c r(2 E L I )m 2 in… ...压 杆 临 界 力 欧 拉 公 式 的 一 般 形 式
—长度系数（或约束系数）。
例12-2-1 试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临
界力公式。
P c rA c r 2 8 .3 1 6 4 0 1 7.7 8 1 6 1 0 3k 0N 4
安全系数
nPcr 3042.02 P 150
例12-3-2、两端固定的管道长L=2m，外径D=40mm，内径d=30mm， 材料为A3钢，E=210GPa，线膨胀系数为 =12.5 10-61/C0 ，安装 时温度为T0= 10C0，试求不引起管道失稳的最高温度T=?
(0.70.5)2 67.14kN
z
y
L
图（b） Im in Iz3.8 9 1 8 0 m 4
Pcr
2Im (2l
inE )2
20.389200
(20.5)2 76.8kN
图（a）
图（b）
§10－3 超过比例极限时压杆临界应力 一、 基本概念
1、临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
②、S< 时： cr s
例12-3-1、一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两 端铰支，压力P=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或抛物线公 式求临界压力和安全系数。 解：一个角钢： A 18 .36 cm 2 7 ,Iy12.6 3c3m 4
两根角钢图示组合之后 I y Iz
0, sinkL,
1 0
coks L
s ik nL 0
k n P
L
EI
临界力 P c r 是微弯下的最小压力， 故，只能取n=1 ；且杆将绕惯性
Pcr
2EImin
L2
矩最小的轴弯曲。
P c r2 L E 2 I m in
… . . . 两 端 铰 支 压 杆 临 界 力 的 欧 拉 公 式
二、此公式的应用条件：
解：（1）、求T与P之间的关系:
LPE PL A LTLT
P
P
PTEA
（2）、判断杆的失效性质（是稳定失效还是强度失效）
D2d2 420320

i
1.2 5mm
4
4
(il)10 .25.512 03 80
cr
Pcr A
2、细长压杆的临界应力： crP A cr( L 2E )2AI(L 2/E i)222 E
即： cr
2E 2
i I ——惯性半径。 A
3、柔度： L ——杆的柔度（或） 长细比
i
4、大柔度杆的分界：
cr
2E 2
P
2E P
P
满足 P的杆称为长 大细 柔杆 度） 杆 欧 ， （ 拉 其 或 公 临
Im in Iy 2 Iy 1 2 2.6 3 3 4.2 7 c6 4 m
i Imin 4.7261.6c8m A 28.367
il1 1.658 08.9 3c123
所以，应由抛物线公式求临界压力。
cr s[1 0 .4(3 c)2 ] 2[3 1 0 5 .4(8 1 3.3 9 2 )2 ] 3 1.7 8 MPa
③、临界应力总图
P
2E
cr
2
o
s s a
b
P 2E P
L
i
2、抛物线型经验公式
①、P<<S 时： cra1b12
我国建筑业常用：
cr
s 1c
2
对 A 3 钢 于 A 5 钢 、 1锰 和 6 钢 0 .4： ， 3 c0 .5 2E 6 S
C 时，由此式求临界。 应力