人教版数学九年级下册第27章相似图形的相似和比例线段拓展提升与复习过关知识全面设计合理含答案教师必备图形的相似和比例线段--知识讲解（基础）【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂：图形的相似预备知识】1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成a mb n ．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；要点三、相似多边形【高清课堂：图形的相似二、图形的相似 2】相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．【典型例题】类型一、比例线段1.（2014•甘肃模拟）若==（abc≠0），求的值．【答案与解析】解：设===k，则a=2k，b=3k，c=5k，所以===．【总结升华】本题考查了比例的性质．解题的关键是先假设===k，得出a=2k，b=3k，c=5k，降低计算难度．举一反三：【变式】（2015•兰州一模）若3a=2b，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：∵3a=2b，∴=，设a=2k，则b=3k，则==﹣．故选A．类型二、相似图形2.（2014•江北区模拟）下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似；（2）等腰直角三角形都相似，正确；（3）正方形都相似，正确；（4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似；（5）正六边形都相似，正确，故符合题意的有3个．故选：C．【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意：①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．举一反三：【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.类型三、相似多边形3. 如图，已知四边形相似于四边形，求四边形的周长.【思路点拨】先根据相似多边形的对应边的比相等，求出四边形的未知边的长，然后即可求出该四边形的周长【答案与解析】∵四边形相似于四边形∴，即∴∴四边形的周长.【总结升华】观察一下可以发现，周长比等于边的比.举一反三：【变式】如图所示的相似四边形中，求未知边x、y的长度和角的大小.【答案】根据题意，两个四边形是相似形，得，解得.4. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF 为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？【答案与解析】解：∵矩形MFGN与矩形ABCD相似当时，S有最大值，最大值为.【总结升华】借助相似，把最值问题转移到函数问题上，是解决这类题型最好方法之一.图形的相似和比例线段--知识讲解（提高）【学习目标】1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似；2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义；3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力.【要点梳理】要点一、比例线段【高清课堂：图形的相似预备知识】1．线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成a mb n ．2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．比例的基本性质：（1）若a:b=c:d，则ad=bc；（2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）．要点二、相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；要点三、相似多边形【高清课堂：图形的相似二、图形的相似 2】相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．【典型例题】类型一、比例线段1. 求证：如果，那么.【思路点拨】这是比例的合比性质，利用等式的性质得到证明.【答案与解析】∵，在等式两边同加上1，∴，∴．【总结升华】比例有合比性质如果，；分比性质如果，a b c db d--=；更比性质如果，a bc d =.举一反三：【高清课堂：图形的相似预备知识练习2】【变式】（2014秋•贵港期末）如果，那么的值是（）A.34B.73C.32D.23【答案】B；提示：∵，∴==．故选B．类型二、相似图形2. 如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？【答案与解析】从我们日常生活的直观经验中可以得出结论.两个四边形对应边成比例，这两个四边形不一定相似，如下图，边长是6的正方形和边长是2的菱形，它们对应边之比都是3，但它们形状并不一样，因而也不相似.【总结升华】多边形的相似要满足两个条件：（1）对应角相等，（2）对应边的比相等.举一反三：【变式】下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（）【答案】A类型三、相似多边形3.（2014秋•慈溪市期末）一个矩形ABCD的较短边长为2．（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．【答案与解析】解：（1）由已知得MN=AB=2，MD=AD=BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，=，∵DM•BC=AB•MN，即BC2=4，∵BC=2，即它的另一边长为2；（2）∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，∵=，∵AB=CD=2，BC=4，∵DF==1，∵矩形EFDC的面积=CD•DF=2×1=2．【总结升华】本题考查相似多边形的性质：相似多边形对应边的比相等．举一反三：【变式】等腰梯形与等腰梯形相似，，求出的长及梯形各角的度数.【答案】∵等腰梯形与等腰梯形相似4. 某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由.【思路点拨】四边形相似要满足角对应相等，边对应成比例.【答案与解析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为(20+2x)米，宽为(10+2x)米，将两个矩形的长与宽分别相比，得长的比为，而宽的比为，很明显，所以做不到.【总结升华】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似.因为.图形的相似和比例线段--巩固练习（基础）【巩固练习】一．选择题1.（2014秋•慈溪市期末）如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（）A．相似B．平移 C．轴对称D．旋转2. 下列四条线段中，不能成比例的是（）A.a＝2，b＝4，c＝3，d＝6B.a＝，b＝，c＝1，d＝C.a＝6，b＝4，c＝10，d＝5D.a＝，b＝2，c＝，d＝23. 下列命题正确的是( )A．所有的等腰三角形都相似B．所有的菱形都相似C．所有的矩形都相似D．所有的等腰直角三角形都相似4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a，b)对应大鱼上的点( )A．(-2a，-2b) B．(-a，-2b) C．(-2b，-2a) D．(-2a，-b)5. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两边的和是（）A．19 B．17 C．24 D．216. .△ABC与△A1B1C1相似且相似比为，△A1B1C1与△A2B2C2相似且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为 ( )A．B．C．或D．二. 填空题7. 两地实际距离为1 500 m，图上距离为5 cm，这张图的比例尺为_______.8. 若，则________9．判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相似.10.已知2=,3xy则_____,_____,______.x y x x yy x y x y+-===++11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最大角为______,最小角为____________.12.（2015春·庆阳校级月考）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条最短边长为2，则另外一个三角形的周长为 .三综合题13. （2014春•徐州校级月考）（1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长．14. 如图，依次连接一个正方形各边的中点所形成的四边形与正方形相似吗？若相似，求出相似比；若不相似，说明理由.15. 市场上供应的某种纸有如下特征：每次对折后，所得的长方形均和原长方形相似，则纸张(矩形)的长与宽应满足什么条件？【答案与解析】一、选择题1．【答案】A【解析】根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．2．【答案】C．【解析】求出最大与最小的两数的积，以及余下两数的积，看所得积是否相等来鉴别它们是否成比例．3．【答案】 D4．【答案】 A【解析】 由图可知，小鱼和大鱼的相似比为1：2，若将小鱼放大1倍，则小鱼和大鱼关于原点对称.5．【答案】C【解析】相似三角形对应边的比相等 6．【答案】A【解析】 相似比AB ︰A 1B 1=，A 1B 1︰A 2B 2=，计算出AB ︰A 2B 2.二、填空题7.【答案】.1：30 000【解析】比例尺=图上距离︰实际距离. 8.【答案】【解析】由可得，故填.9.【答案】成比例；相等. 10.【答案】521,,.355-【解析】提示：设2.3,.x k y k ==即可得11.【答案】80°，40°. 12.【答案】 7.5.【解析】设另一个三角形周长是x.∵一个三角形的三边长是4,5,6， ∴这个三角形的周长为：4+5+6=15.∵与它相似的另一个三角形最短的一边长是2， ∴2154x =， 解得：x=7.5.∴另一个三角形的周长是7.5. 三、解答题 13.【解析】解：（1）∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a ：b=c ：d ，∵a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ， ∴d=4cm ；(2)∵线段c 是线段a 和b 的比例中项，a=4cm,b=9cm. ∴c 2=ab=36， 解得：c=±6， 又∵线段是正数， ∴c=6cm.14.【解析】要探究正方形是否与四边形相似，需知道四边形是否是正方形，若是正方形，则两正方形一定相似，若不是正方形，则不相似，因为所有的正方形都是相似的.设正方形的边长为，由题意可知，同理由，可得同理45°，，四边形是正方形∴正方形与正方形相似，即两正方形的相似比是.15.【解析】如图，为了方便分析可先画出草图，根据题意知两个矩形的长边之比应等于短边之比.设矩形的长为，宽为，由相似多边形的特征得:=2:a b2:.图形的相似和比例线段--巩固练习（提高）【巩固练习】一．选择题1. 在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3cm的两地，它们的实际距离为( )A．3 km B．30 km C．300 km D．3 000 km2.（2015•兰州一模）若3a=2b，则a ba-的值为（）A.12- B.12C.13- D.133. 已知△ABC 的三边长分别为6cm 、7.5cm 、9cm ，△DEF 的一边长为4cm ，当△DEF 的另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形相似( )A ．2cm ，3cmB ．4cm ，5cmC ．5cm ，6cmD ．6cm ，7cm 4.△ABC 与△A 1B 1C 1相似且相似比为，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似且相似比为，则△ABC与△A 2B 2C 2的相似比为 ( ) A ．B ．C ．或D ．5.下列两个图形：① 两个等腰三角形；② 两个直角三角形；③ 两个正方形；④ 两个矩形；⑤ 两个菱形；⑥ 两个正五边形.其中一定相似的有（ ） A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组6.一个钢筋三角架三边长分别是20cm ，50cm ，60cm ，现要做一个与其相似的三角架，只有长30cm ，50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根截下两段（允许有余料）做为其他两边，则不同的截法有（ ）A.一种B.两种C.三种D.四种 二. 填空题7. （2014•宜昌模拟）在一张比例尺为1：5 000 000的地图上，甲、乙两地相距70毫米，此两地的实际距离为_________. 8. △ABC 的三条边长分别为、2、，△A′B′C′的两边长分别为1和，且△ABC 与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长为____________ 9． 如图：梯形ADFE 相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，则______.AEBE10.已知若-3=,=____;4x y x y y则若5-4=0,x y 则x :y =___. 11.如图：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________.12. 用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若四边形的边长被放大为原来的10倍，下列结论①放大后的∠B 是原来∠B 的10倍；②两个四边形的对应边相等；③两个四边形的对应角相等，则正确的有 .三．综合题13.如果a b c dkb c d a c d a b d a b c====++++++++，一次函数y kx m=+经过点（-1,2），求此一次函数解析式.14. 如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，线段EF=10，在EF上取一点M，分别以EM、MF为一边作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN与矩形ABCD相似.令MN=x，当x为何值时，矩形EMNH的面积S有最大值？最大值是多少？15.（2014秋·滨江区期末）从一个矩形中剪去一个正方形，如图所示，若剩下的矩形与原矩形相似，求原矩形的长边与宽边比.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】图上距离︰实际距离=1：1 000 000.2.【答案】A【解析】∵3a=2b，∴23ab=，设a=2k，则b=3k，则231.22 a b k ka k--==-故选A．3．【答案】C【解析】 设△DEF 的另两边的长分别为xcm ，ycm ，因为△ABC 与△DEF 相似，所以有下列几种情况： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得；所以选C.4．【答案】A【解析】 相似比AB ︰A 1B 1=，A 1B 1︰A 2B 2=，计算出AB ︰A 2B 2.5．【答案】A【解析】只有两个正方形和正五边形相似. 6．【答案】B 二、填空题7.【答案】350千米.【解析】设甲、乙两地的实际距离为xmm ，1：5000000=70：x ， 解得x=350000000．350000000mm=350千米. 即甲乙两地的实际距离为350千米．8.【答案】 【解析】提示：△A′B′C′已知两边之比为1：，在△ABC 中找出两边、，它们长度之比也为1︰，根据相似三角形对应边的对应关系，求出相似比.9.【答案】3. 【解析】因为梯形ADFE 相似于梯形EFCB ，所以AD EFEF BC=,即EF=23所以323AE AD BE EF === 10.【答案】74;.4511.【答案】1:3;1:2;1:2;2:1;1:3.12.【答案】 ③ 三、解答题 13.【解析】∵a b c dk b c d a c d a b d a b c ====++++++++∴+1=+1=+1=+1=+1++++++++c a b c dk b c d a c d a b d a b ∴++++++++++++====+1++++++++ca b c d a b c d a b c d a b c dk b c d a c d a b d a b则分两种情况：（1）+++=0a b c d ，即+1=0k ,=-1k(2)++=++=++=++b c d a c d a b d a b c ,即===,a b c d 1=3k 则所以当=-1k ，过点（-1,2）时，=-+1y x当1=3k ，过点（-1,2）时，17=+33y x .14.【解析】∵矩形MFGN 与矩形ABCD 相似当时，S 有最大值，为.15.【解析】根据矩形相似的性质找出相应的解析式求解.设原矩形的长为x ，宽为y ，则剩下矩形的长为y ，宽为x-y 由题意，得1x y y x y x y x y==--即， 令x a y =则21110a a a a=---=∴，，.（又a ＞0），∴原矩形的长与宽之比为15.x y += .x-yy yx。