第14讲牛吃草问题英国大科学家牛顿曾经出过一道饶有趣味的题目，这就是著名的“牛吃草”问题。

又叫“牛顿问题”。

什么是牛顿问题呢? 看完今天所讲的内容，你就知道了。

例1 牧场上有一片青草，每天牧草都均匀生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

问：可供25头牛吃几天？分析：由题意可知，牧场上原有的青草量是一定的，每头牛每天的食草量也是一定的，但是新草的总量却是随着时间变化着的。

新长的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。

10头牛20天吃草量是由原有草量和20天新长的草量两部分组成，而15头牛10天的吃草量是由原有草量和10天新长的草量两部分组成。

因此要解决问题必须设法计算出原有草量和每天新长的草量。

知道这两个量后就可以求25头牛吃几天了。

解答：设1头牛每天吃的草为1份，那么10头牛20天吃草量=原有草量＋20天新长的草量=10×20=200（份）15头牛10天吃草量=原有草量+10天新长的草量=15×10=150（份）从上面两式可以看出：10天新长的草量是200－150=50（份）。

此每天新长的草50÷10=5 （份）则原有草：200－5×20=100（份）因为每头牛每天吃草1份，为了方便解题，先让25头牛中的5头吃每天长出来的5份青草，这样每天长的青草每天都被吃光，这时我们只要考虑原有的草被剩下的20头牛多少天吃光就可以了。

100÷（25－5）=5（天）答：这片草地可供25头牛吃5天。

说明：解题时要注意：（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。

（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。

也可以像上面那样计算。

（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长的草，把变转化为不变使题简单。

其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。

例2 有一水池，池底有泉水不断的涌出。

要想把池水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时。

如果用6台抽水机需抽几小时？分析：从表面上看没有“牛吃草”，但题的实质就是牛吃草问题。

水池的原有水量一定，即原有草量一定；泉水不断地以匀速涌出，就相当于新长的草；抽水机抽水就相当于牛吃草。

所以可以用例1的方法解答。

解答：设抽水机每小时抽水1份，那么：10台抽水机8小时抽水80份=池中原有水量＋8小时的泉水涌入量8台抽水机12小时抽水96份=池中原有水量＋12小时的泉水涌入量泉水（12－8）=4小时的涌入量为96－80=16份。

所以每小时泉水涌入量为：16÷4=4（份）池中原有水：80－4×8=48（份）现用6台抽水机抽水，因为每小时涌入泉水4份，所以有4台抽水机专门负责抽涌入的新水，剩下的2台抽水机抽池中的48份原有水。

需用：48÷2=24（时）答：用6台抽水机需抽24小时。

例3 由于天气逐渐变冷，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。

已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。

照此计算，可供11头牛吃几天？分析：通过读题发现与例1不同的是：草不是在匀速的生长而是在匀速的减少，但是思考方法与例1相同。

只不过这时草地上原有的草量等于牛吃的草量与自然减少的草量之和。

解答：设1头牛每天吃的草为1份，那么20头牛5天吃草量=原有草量－5天减少的草量=20×5=100（份）16头牛6天吃草量=原有草量－6天减少的草量=16×6=96（份）从上面两式可以看出：1天减少的草量是100－96=4（份）。

即每天草地上原有的草自然减少4份。

则原有草：100＋5×4=120（份）因为每头牛每天吃草1份，为了方便解题，把每天自然减少的4份草量看成有4头牛在吃，再加上原有的11头牛，每天实际减少的草量相当于有11＋4=15头牛吃草。

所以可供120÷（11＋4）=8（天）答：这片草地可供11头牛吃8天。

说明：从前面3道例题可以看出解决牛吃草问题的关键就是通过假设每头牛每天吃草量为1份来确定原有草量、每天生长的草量（或减少的草量）。

然后让一些牛专门负责每天变化的草量，使问题变成“一些牛几天吃完原有的固定草量”，从而简化问题。

例4 一片草地，每天牧草都匀速生长，如果9头牛吃，12天吃完所有的草；如果8头牛吃，16天吃完所有的草。

现在，开始只有4头牛，从第7天起又增加了若干头牛，再用6天吃完所有的草。

问增加了多少头牛？分析：这道题在基本的“牛吃草”问题的基础上加了一小点变化。

但解题方法类似，确定原有草量与每天新生长草量的方法相同，只是后边需要一些小的技巧。

解答：设1头牛1天吃草量为1份。

则每天新长出来的草量为：（8×16－9×12）÷（16－12）=5（份）草地原有草量为：8×16－5×16=48（份）现在考虑前6天只有4头牛吃草，这4头牛连每天新长出来的5份草都吃不光，到第7天时草地上的草的数量没有减少，反而增加了（5－4）×6=6（份）。

第7天时草地上有草：6+48=54（份）所以后6天吃的草量为：54+5×6=84（份）后6天把草吃完的牛的头数是：84÷6=14（头）因此增加了14－4=10（头）答：从第7天起增加了10头牛。

例5有一片青草，每天生长的速度相同，已知这片青草可供15头牛吃20天，或者供76只羊吃12天，如果一只牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊一起吃草，可以吃多少天？分析：本题中既有牛又有羊，为了简便通过比较所吃的总草量来求出每天生长的新草量和原有的总草量，我们可以先根据已知条件“一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量”，将已知条件“15头牛吃20天”转化成“60只羊吃20天”，统一以羊的吃草量为标准，同时把条件“8头牛与64只羊一起吃”转换成“96只羊一起吃”，这样就可以用前面的解法了。

解答：设每只羊每天吃草量为1份，则每天长出的新草量为：（15×4×20－76×12）÷（20－12）=36（份）原有的总草量为：76×12－36×12=480（份）8头牛与64只羊的吃草量相当于96只羊的吃草量，所以从96只羊中选出36只吃掉每天新长的草，剩下的60只吃草地上原有的草。

则共需：480÷60=8（天）答：8头牛与64只羊一起可以吃8天。

说明：此题还可以统一成以牛的吃草量为标准，请你试做！例6 商场的自动扶梯以均匀的速度由下而上的行驶着，兄妹俩人从扶梯上楼，兄每分钟走20级，妹每分钟走15级，结果兄5分钟到达楼上，妹6分钟到达楼上。

问该自动扶梯共有多少阶？分析：这个问题是牛吃草问题的另一种叙述形式，因为上楼的速度可分为两部分：一部分是兄妹自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。

兄5分钟走了20×5=100（级），妹6分钟走了15×6=90（级）。

妹比兄少走10级也到达了楼上，但多走了1分钟，说明自动扶梯1分钟可向上行10级。

于是自动扶梯共有(20＋10)×5=150(级)解答：自动扶梯每分钟走：（20×5－15×6）÷（6－5）=10（级）自动扶梯共有：(20+10)×5=150（级）答：该自动扶梯共有150级。

说明：“牛吃草”问题的解法都有相似之处，掌握后也比较简单，但一定要能区分出它的各种叙述的形式，找到实质内容以解决问题。

例6就是一道“牛吃草”问题的不同叙述形式，但意思相同，所以解题时读懂题意最关键。

阅读材料音乐里的数学人人都爱音乐，古今中外，皆莫能外。

我国古代孔子就把音乐作为“六艺”之一，规定他的学生都必须掌握。

许多数学家也都很喜欢音乐，大数学家欧拉甚至还发表过一篇用数学来研究音乐的论文。

只是对数学家来说，这论文太音乐化了，而对音乐家来说又太数学化了。

以致大家都不容易看懂。

1978年，湖北随州擂鼓墩曾侯乙墓出土了一套共65口编钟，被称为“曾侯乙钟”。

这套埋于地下2400多年的古代乐器，总重超过5吨，音域达五个8度，其音阶结构与现代C 大调系同一音列，且十二个半音齐备。

用这套编钟可以演奏古今中外各种乐曲，被外国人称为“世界第八奇迹”。

过去，西方总认为中国的七声音阶形成晚于希腊，中国的七声音阶是“舶来品”，因为中国古代音乐主要用五声音阶（“宫、商、角、徵、羽”，即只有“1、2、3、5、6”五音而无，“4、7”这两个偏音。

）其实，在《周语》中就记录了十二音的专名：黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟、半黄钟、……。

且这些音可用“三分损益法”求出各音，这比希腊的毕达哥拉斯的同样的理论早一百多年。

这说明我国七声音阶发明很早。

曾侯乙钟则以实物证明了我国古代音乐理论的发展水平极高，也证明了我国古代的乐律与西方乐律是互相独立发展起来的。

既是独立发展起来，那为什么不象独立发展起来的语言文字那样差异极大，而是那样接近，以致2400年前的中国乐器可以毫无困难地演奏现代西洋音乐呢？这与乐音的数理特性有关。

声音由振动产生，振动频率（每秒钟振动的次数）决定音的高低。

相差8度的两音（例如钢琴上的“C1”与“C2”或唱的“1’与“i”），后者间频是前者的2倍（而波长则是前者的）。

这样的两音最相似，最和谐，这在古今中外，皆莫能外。

1834年，物理学家规定G1＝440次／秒，后被定为国际标准音。

在西洋首创的键盘乐器（如钢琴上，一组完整的音包括七个白键五个黑键共12个高低不同的音，按由低向高顺序排列为：C、#C、D、#D、E、F、#F、G、#G、A、#A、B、c、#c、d、…。

在此序列中，任一音的音频都等于它前一音的音频乘以一个常数q。

（而波长则除以q）若记“C”的音频为n，则“c”的音频为2n，于是这就得到各音的音频与“C”的音频的比值表：这样的规定极易转调，以任何一个音作为“1”，都可轻而易举地转调，此即十二平均律，在我国是明代朱载育首先提出该理论，而在西欧则首先由巴赫用于实践，而键盘音乐则是依据十二平均律作成。

我国古代的弦乐计算弦长则依据“三分损益法”，由上表可知C的5分度音G的音频约为C的1.5倍，即G的波长约为C的，这就是“三法”的数学基础（“损益”即减少与增加，“1”的波长减其就是“5”的波长，加其就是“5”的波长）。

此时“G”音的3个波长等于C音的2个波长，这样的两个音也很相似，很和谐。

（程度仅次于8度音）用这样的办法，找到“G”音后，再用G的音频的1.5倍（波长为）就得“d”音。