H ( z ) = H a (s)
2 1− z −1 s= ⋅ T 1+ z −1
1 1 = ⋅ −1 −2 (1 − 1.268 z + 0.7051z ) (1 − 1.010 z −1 + 0.358 z −2 ) ⋅
1 (1 − 0.9044 z −1 + 0.2155 z −2 )
第7章 实验报告要求（1） 章 实验报告要求（ ）
= 0.7032 rad / s
用通带技术指标，使阻带特性较好，改善混迭失真
b) 求出极点（左半平面）
sk = Ωc e
c) 构造系统函数 或者
1 2 k −1 π j + 2 2N
k = 1,2,...,6
H a (s) =
Ω6 c
∏ (s − s )
k =1 k
6
b’) 由N = 6，直接查表得
数字信号处理实验
第7章 章
实验目的
IIR数字滤波器的设计 数字滤波器的设计
冲激响应不变法； 冲激响应不变法； 双线性变换法； 双线性变换法；
一、数字滤波器的技术要求
选频滤波器的频率响应：
H (e jω ) = H (e jω ) e jβ ( jω )
H (e jω ) 为幅频特性：表示信号通过该滤波器后
↓ H (e − jω )
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
d β (e jω ) τ (e jω ) = − dω
dH ( z ) 1 = − Re z dz H ( z ) z =e jω
ω τ (e jjω ) = 常数， 若滤波器通带内
则为线性相位滤波器
1. 冲激响应不变法
变换原理
数字滤波器的单位冲激响应 h( n) 模仿模拟滤波器的单位冲激响应
ha (t )
h(n) = ha (t )
t = nT
T—抽样周期
↓ H ( z)
↓ H a (s)
1 ∞ ˆ ( s ) = ∑ H s − j 2π k = Ha a T k =−∞ T
H ( z)
z =e sT
2 ωp Ω p = tg = 0.65 rad / s T 2 2 ωs Ω s = tg = 1.019 rad / s T 2
δ1 = 1dB δ 2 = 15dB
3）设计Butterworth模拟低通滤波器 a）确定参数
100.1δ1 − 1 = 0.092 λsp = Ω s / Ω p = 1.568 ksp = 0.1δ 2 10 −1
c) 构造系统函数
k = 1,2,...,6
H a (s) =
Ω6 c
∏ (s − s )
k =1 k
6
或者 b’) 由N = 6，直接查表得
H an ( s ) =
1 1 + 3.8637 s + 7.4641s 2 + 9.1416s 3 + 7.4641s 4 + 3.8637 s 5 + s 6
1 H an ( s ) = 1 + 3.8637 s + 7.4641s 2 + 9.1416s 3 + 7.4641s 4 + 3.8637 s 5 + s 6
c’) 去归一化
s 0.1209 H a ( s ) = H an = 6 Ωc s + 2.716s 5 + 3.691s 4 + 3.179 s 3 + 1.825s 2 + 0.121s + 0.1209
ωst ：阻带截止频率 α1 ：通带容限 α 2 ：阻带容限
通带ห้องสมุดไป่ตู้大衰减：δ1
δ1 = 20lg
H (e j 0 ) H (e jωc )
= −20lg H (e jωc ) = −20lg(1 − α1 )
阻带最小衰减：δ 2
δ 2 = 20lg
H (e j 0 ) H (e jωst )
= −20lg H (e jωst ) = −20lg α 2
N = − lg k sp / lg λsp = 5.306
Ωc = Ω s 100.1δ 2 − 1
取N = 6
(
)
−
1 2N
= 0.7662 rad / s
用阻带技术指标，使通带特性较好，因无混迭问题
b) 求出极点（左半平面）
1 2 k −1 j + π 2 2N
sk = Ωc e
z =e jω
jω
2
H ( z ) H ( z −1 ) 的极点既是共轭的，又是以单位 圆成镜像对称的 j Im[ z ]
1/ a*
H(z)的极点：单位圆内的极点
0
a a*
Re[ z ]
a −1
相位响应
H ( e ) = H (e ) e
jω jω
j β ( e jω )
H (e jω ) + j Im H (e jω ) = Re
4）将 H a ( s ) 展成部分分式形式:
Ak H a (s) = ∑ k =1 s − sk
变换成Butterworth数字滤波器：
N
TAk H ( z) = ∑ sk T −1 z k =1 1 − e
0.2871 − 0.4466 z −1 −2.1428 + 1.1454 z −1 = + −1 −2 −1 −2 1 − 0.1297 z + 0.6949 z 1 − 1.0691z + 0.3699 z
Im[ H (e jω )] 相位响应： β (e jω ) = arctan jω Re[ H (e )]
H * (e jω ) = H (e jω ) e − jβ ( e
jω
)
H (e jω ) 2 j β ( e jω ) =e * jω H (e )
1 H (e jω ) 1 H ( z ) jω β (e ) = ln * jω = ln 2 j H (e ) 2 j H ( z −1 ) z =e jω
H (e j 0 ) = 1 其中： H (e jωc ) = 2 / 2 = 0.707 时， δ1 = 3dB 当
称 ωc 为3dB通带截止频率
二、表征滤波器频率响应的特征参量 幅度平方响应
H (e ) = H (e jω ) H * (e jω )
= H (e jω ) H (e − jω ) = H ( z ) H ( z −1 )
3）设计Butterworth模拟低通滤波器 a）确定参数
λsp = Ω s / Ω p = 1.5
100.1δ1 − 1 k sp = = 0.092 0.1δ 2 10 −1
取N = 6
N = − lg k sp / lg λsp = 5.884
Ωc = Ω p 100.1δ1 − 1
(
)
−
1 2N
δ1、δ 2不变
3. 按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器 Butterworth低通滤波器 Chebyshev低通滤波器 4. 将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 冲激响应不变法 双线性变换法
0.2 数字低通滤波器， 例1：设计 ：设计Butterworth数字低通滤波器，要求在频率低于 π 数字低通滤波器 rad的通带内幅度特性下降小于 的通带内幅度特性下降小于1dB。在频率0.3π 到π 之间的 的通带内幅度特性下降小于 。 阻带内，衰减大于15dB。分别用冲激响应不变法和双线性变 阻带内，衰减大于 。 换法。 换法。
各频率成分的衰减情况
β ( jω )为相频特性：反映各频率成分通过滤波器
后在时间上的延时情况
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近
通带： 阻带： 过渡带：
ω ≤ ωc
1 − α1 ≤ H (e jω ) ≤ 1 H (e jω ) ≤ α 2
ωst ≤ ω ≤ π
ωc ≤ ω ≤ ωst
ωc ：通带截止频率
N
1.8558 − 0.6304 z −1 + 1 − 0.9972 z −1 + 0.2570 z −2
2、用双线性变换法设计
1）由数字滤波器的技术指标：
ω p = 0.2π rad δ1 = 1dB ωs = 0.3π rad δ 2 = 15dB
2）考虑预畸变，得模拟滤波器的技术指标：
选T = 1s
为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一频率有 对应关系，引入系数 c
Ω1T Ω = c ⋅ tg 2
1 − z −1 s=c 1 + z −1 c+s z= c−s
三、利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的步骤 利用模拟滤波器设计 数字滤波器的步骤
1. 确定数字滤波器的技术指标： 确定数字滤波器的技术指标：
电子邮箱
课件： dsp_matlab@ matlab 实验报告：work_guojie@
实现程序P7.1 用MATLAB实现程序 实现程序
源码和图片、注释撰写入实验报告文档中。
回答Q7.5~ Q7.8 回答
源码和实验结果图片，撰写入实验报告文档 源码要求注释
第7章 实验报告要求（2） 章 实验报告要求（ ）
1. 用matlab实现例1； 实现例 ； 实现 2. 用双线性变换法设计 用双线性变换法设计Chebyshev数字低通滤波器，要求在 数字低通滤波器， 数字低通滤波器 的通带内幅度特性下降小于1dB。在频 频率低于 0.2π rad的通带内幅度特性下降小于 的通带内幅度特性下降小于 。 之间的阻带内，衰减大于15dB。 率 0.3π 到 π 之间的阻带内，衰减大于 。 3. 用matlab实现题2； 实现题 ； 实现