万有引力中必考的几个模型一． 地球表面上的物体的重力与万有引力的关系在地球表面上的物体随地球的自转而做匀速圆周运动，物体受到指向圆周圆心的向心力作用，其方向垂直指向转轴（地轴），圆心在地轴上。

此向心力由地球对物体的万有引力的分力提供，而万有引力的另一个分力，即物体所受的重力G =mg ，如图所示。

1.在赤道，万有引力方向指向_____，向心力大小最___，方向指向______，重力大小最_____，方向指向________； 2.在两极，万有引力方向指向_____，向心力大小最___，方向指向______，重力大小最_____，方向指向________。

3.只有物体在______时，物体所受的万有引力才等于重力。

总之，无论如何，都不能说重力就是万有引力。

注意：“当地球自转影响可以忽略不计时，可以认为物体的重力近似等于物体所受万有引力”二、星球表面的和某一高度处的重力加速度当物体在距地面一定高度绕地心做匀速圆周运动时，物体仅受地球的引力，且此时地球对物体的万有引力就等于物体重力，引力提供物体做圆周运动的向心力，所以三者相等，但要明白，向心力只是从效果上的命名。

由2)(h R Mm Gg m +='得，离地面高h 处重力加速度2)(h R M Gg +='，这里M 、R 分别为地球的质量和半径，将h 取作0，即得地球表面的重力加速度为2RM Gg =利用黄金代换2gR GM =得：22/)(h R gRg +=注意：重力加速度随高度的增加而减小三、卫星运行速度v 、角速度ω、周期T 与轨道半径R 的关系：(天上模型，我们可以理解为离中心天体远，运动的慢，离得近，运动的快。

)①由2RGmM=R mv2有v='R GM 即v ∝R 1,故R 越大,运行速度v 越小; ②由2RGmM=m ω2R 有ω=3RGM,即v ∝31R,故R 越大,角速度ω越小;③由2R GmM=m(T π2)2R 有T=GM R324π,即T ∝3R ,故R 越大,周期T 越大.四、求中心天体的质量的方法1．根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量 由mg=G2RMm 得 Gg R M 2=.2．根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得 222224Tmrmr rvmrMm G πω===若已知卫星的轨道半径r 和卫星的运行周期T 、角速度ω或线速度v ，可求得中心天体的质量为Gr GTr Grv M 3223224ωπ===注意：除了知道G ，r 之外还要知道v ，T 、ω、f ，a 中的一个就可以求出中心天体的质量。

具体排列如下：1、（（G ，r ，v ）2、（G ，r ，ω）3、（G ，r ，T ）4、（G ，r ，f ）5、（G ，r ，a ）6、（G ，R ，g ）7、（G ，v ，ω）8、（G ，v ，T ） 五、求中心天体的密度 根据密度的公式只有知道质量和半径就可以求出中心天体的密度注意：RTmRMm G 2224π=得出：M=2324GTRπ22330334R GT RRm VM ππρ===当卫星沿天体表面绕天体运动时，R=R 0，则ρ=23GT π。

例题1 人造地球卫星的轨道半径越大，则（ ）A 、速度越小，周期越小B 、速度越小，周期越大C 、速度越大，周期越小D 、速度越大，周期越大[提示]由Ｆ万＝Ｆ向，即r Vmr MmG22=知，r 越大，v 越小，又因为V rT π2=，所以v 越小， r 越大，Ｔ一定越大。

确认选项Ｂ是正确的。

例2 某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运转。

若引力恒量G 为已知，则计算该行星的密度，唯一需要测出的物理量是：（ ）A 、行星的半径B 、卫星轨道的半径C 、卫星运行的线速度D 、卫星运行的周期。

[解与析]： 由于卫星轨道靠近行星，则R 卫=R 行，A 、B 两选项相同。

假设行星半径为R ，密度为ρ，则：RRmM GRmM GF ππ343432⋅==万=RGm πρ34⋅……………………①令R VmF 2=万 ……………………②①式和②式两式相等,欲求ρ,需测线速度和半径,又由于RTmF ⋅=224π万,所以RGm R T m πρπ34422⋅=⋅,消去m 和R 得ρ=GT π3。

由此可见，欲求该行星的密度，只需测出卫星的运行周期即可。

为此，选项D 是正确。

【素质训练】1、关于万有引力定律的正确的说法是（ ）A 、天体间万有引力与它们质量成正比，与它们之间距离成反比B 、任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离平方成反比C 、万有引力与质量、距离和万有引力恒量成正比D 、万有引力定律对质量大的物体可以适用，对质量小的物体可能不适用。

2、已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，它们绕太阳的公转均可看做匀速圆周运动，则可判定（ ）A 、金星到太阳的距离（即轨道半径）小于地球到太阳的距离B 、金星运动的速度小于地球运动的速度C 、金星的向心加速度大于地球的向心加速度D、金星的质量大于地球的质量3、为估算一个天体的质量，需要知道绕该天体做匀速圆周运动的另一星球的条件是（）A、质量和运转周期B、运转周期和轨道半径C、轨道半径和环绕速度D、环绕速度和质量4、地球的第一宇宙速度约为8km/s，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则该行星的第一宇宙速度约为：（）A、4km/sB、8km/sC、16km/sD、32km/s5、设地球表面的重力加速度g0,物体在距地心4R(R是地球半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为：（）A、1B、1/gC、1/4D、1/166、(90年全国)假如一作圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍作圆周运动，则：（）A、根据公式v=ωr,可知卫星运动的线速度将增大到原来的2倍；Vm2A B A B A B A B10、如果把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动，轨道平均半径约1.5×108km ,已知万有引力常量G=6.67×10-11N. m2/kg2,则可估算出太阳的质量大约是kg。

（结果取一位有效数字）11、已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g,万有引力恒量为G，如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为。

12、空中有一颗人造地球卫星到地球球心的平均距离是另一颗卫星到地球球心平均距离的161，若后者绕地球运行的周期是16天，则前者绕地球运动的周期是_____天。

13、已知一颗近地卫星的周期约为5100s,今要发射一颗地球同步卫星，它的离地高度约为地球半径的多少倍？14、两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：(1)a、b两卫星周期之比T a:T b是多少？(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，则a 至少经过多少个周期两卫星相距最远？15、1990年3月，紫金山天之台将1965年9月20日发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，其直径为32km 。

如该小行星的密度和地球相同，则对该小行星的第一宇宙速度是多少？已知地球半径R=6400km,地球的第一宇宙速度v 1=8km/s 。

16、地球质量为M ，半径为R ，万有引力恒量为G ，发射一颗绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星，卫星的速度称为第一宇宙速度。

（1）试推导由上述各量表达的第一宇宙速度的计算式，要求写出推导依据。

（2）若已知第一宇宙速度的大小为v=7.9km/s ，地球半径R=6.4×103km ，万有引力恒量32G ×10-10N ·m 2/kg 2，求地球质量（结果要求二位有效数字）。

17、2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g(视为常量)和光速c ，试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。

18、某物体在地面上受到的重力为160N ，将它放置在卫星中，在卫星以α=21g 的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90N 时，卫星距地球表面有多远？（R 地=6.4×103km, g=10m/s 2）19、已知一颗近地卫星的周期约为5100s ，今要发射一颗地球同步卫星，它的离地高度约为地球的半径的多少倍？20、（1）简要说明地球同步卫星为什么只能在赤道平面内绕地球运转？（2）已知地球半径R=6.4×106m,月球公转周期27天,月球轨道半径为地球半径的60倍,由这些数据估算地球同步卫星离地面的高度(保留两位有效数字).【素质训练参考答案】 一.万有引力定律1.B2.AC3.BC4.由G R VmR Mm22=,V=RGM 得12122121==R M R M V V 则V 1=2V 2=2×8=16km/s 故选项C 正确5、根据F 万=F 重即mgrMm G =2得： 物体在地球表面：mgRMm G=2物体在距地心4R 处：mgR Mm G=2)4(则：161=g g，故选取项D 是正确。

6、因v=ωr 中，ω是变量，F=r Vm 2中v 也是变量，A 、B 不能选，由F=2rMm G得：只有r 是变量，选项C 是正确，B 、C 得v=r GM，则只有r 为变量，故选项D 也是正确的，综合上述该题的正确答案应为C 、D 选项。

7、D 8、BC9、D 提示：G=RT 4πmR m ωR Mm2222==由此可知， R 3∝T 2,则 =BAR R 4181T T 232B A 3=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛再由 v=ωr=T π2R,知v ∝T R则 12T T R R v v AB BA BA=⋅=.10、由GM rT 32π=，T 做已知条件（365d ）求解出2×1030 kg 。

11、利用GR g rMm Gmg π432求所出=。

12、4113、由人造地球卫星的周期公式GM rT 32π=得：5100231==GM RT π…………………………①243600232⨯==GMrT π…………………………② ②/①得6.6)5100243600(23=⨯=Rr所以6.5=-=RR r R h14、(1)由GM rT 32π=得T a ：T b =1:22(2)设经过时间t 两卫星相距最远，则；21)12(-+=n T t T tba（n=1、2、3………）n =1时对应时间最短，即：2122+=aaT t T t ，则aa T T t 77.07)24(=+=15、由小地小地小小地地得R R g g R M R M===,34,3433ρπρπ，故地地小小小小V R R g R v ===s ms m201086400163=⨯⨯。