2
∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0, 1+ab>0， 1-a2>0,1-b2>0, 1-ab>0. 所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,
(a-b)2(1+ab)≥0.
1 1 2 故 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二:分析法 证明三:综合法 ∵a2+b2≥2ab, ∴-a2-b2≤-2ab. 从而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,1-ab>0. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 a 1 b 1 a 1 b2
证明二：(分析法)
证明三：(综合法)
一般地,对任意实数ai,bi(i=1,2,3, …,n),都有:
(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)
≥(a1b1+a2b2+…+anbn) 2.(柯西不等式)
【例4】设-1<a<1,-1<b<1,求证: 1 1 2 . 2 2 1 a 1 b 1 ab
证明二：比较法（作商） ∵a2+b2≥2ab，
2 2 3 3 ( a b )( a b ab) a b ∴ 2 2 ab(a b) a b ab 2 2 a b ab 2ab ab 1 ab ab
又a>0，b>0，所以ab>0，
故a3+b3≥a2b+ab2.
证明一:比较法(作差)
1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 ab
(1 b 2 )(1 ab) (1 a 2 )(1 ab) 2(1 a 2 )(1 b 2 ) (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab)
1 b 2 ab ab3 1 a 2 ab a 3b 2 2a 2 2b 2 2a 2b 2 2 2 (1 a )(1 b )(1 ab)
不 等 式 的 证 明
松北高级中学 吴宏亮
【 例 1】 已 知 a>0 ， b>0 ， 求 证 ： a3+b3≥a2b+ab2.(课本P12例3)
证明一：比较法（作差） （a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3- a2b）+（b3-ab2） =a2(a-b)+b2(b-a) =(a-b)( a2-b2) =( a-b)2(a+b). ∵a>0，b>0， ∴a+b>0，而( a-b)2≥0. ∴( a-b)2(a+b)≥0. 故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0, 即a3+b3≥a2b+ab2.
a b 2ab ab a b 2a b 2 2 (1 a )(1 b )(1 ab)
2 2 3 3 2
2
(a b)2 ab(a b)2 (1 a 2 )(1 b 2 )(1 ab) (a b) (1 ab) 2 2 (1 a )(1 b )(1 ab)
【例3】求证:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 证明一： ( 比较法 ) ∵(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2) =(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2) =2abcd- a2d2-b2c2 =-(ad-bc)2 ≤0. ∴ (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).
2 2 1 sin sin 1 ab
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 ab) 1 ab 1 a b a b
证明四:换元法
1 1 1 1 2 2 2 1 a 1 b 1 sin 1 sin2 (1 sin2 ) (1 sin2 ) cos2 cos2 2 2 (1 sin )(1 sin ) cos2 cos2 2 | cos cos | 2 2 2 cos cos | cos cos | 2 | cos( ) sin sin |
a 0, b 0
a b b 2a 同 理 a 2b b a 2 2 a b b a 2a 2b b a
2
2
a b 即 ab b a
2
2
a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn, 则 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn ≥a1b2+a2b3+…+ an-1bn+anb1 ≥a1bn+a2bn-1+…+ an-1b2+anb1.
2 2
a b 所以， a b b a
证明二：比较法（作商）
a b 3 3 2 2 a b a b ab b a ab(a b) ab ab
2ab ab 1 ab
2
2
而a>0，b>0，所以a+b>0.
a2 b2 故 ab b a
证明四:综合法
证明三：分析法
欲证a3+b3≥a2b+ab2， 只需证明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b). 由于a>0，b>0，所以a+b>0， 故只要证明a2+b2-ab≥ab即可。 即证明a2+b2≥2ab. 而a2+b2≥2ab 显然是成立的 所以有a3+b3≥a2b+ab2.
证明四：综合法
∵a2+b2≥2ab， ∴aБайду номын сангаас+b2-ab≥ab.
又∵a>0，b>0， ∴a+b>0，
故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).
即a3+b3≥a2b+ab2.
【例2】已知a>0，b>0，求证： a2 b2 a b.(课 本 习 题 改 变 ） b a 证明一：比较法（作差）
3 3 2 2 a b a b a b ab (a b ) b a ab 2 2 2 a (a b ) b ( b a ) (a b ) (a b ) ab ab 2 2 (a b)(a b ) 0 ab 2 2