当M、B、F三点共线时, MF ' MB取最大值, 此时MF MB 10 F ' B 10 2 10, MF MB的最小值是10 2 10.
例3、如图，点M 和F分别是椭圆上的动点和右焦点，定点B（2，2）
（1）求MF MB的最小值；
Байду номын сангаас
（2）求 5 MF MB的最小值
4
解:（2）过动点M作右准线x 25的垂线，垂足为H，
例3、如图，点M 和F分别是椭圆 x2 y2 1上的动点和右焦点，定点B（2，2） 25 9
（1）求MF MB的最小值；（2）求 5 MF MB的最小值. 4
y
解 : 椭圆右焦点F（4,0）,左焦点F（4 ,0）,
离心率e 4 ,准线方程x 25 .
5
4
（1）连MF
BM
F′ O
F
x
MF MB 10 MF ' MB 10 (MF ' MB)
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解析几何中的最值问题
南通市通州区石港中学 高志军
一、达标小题自测
1、已知两点 A（3，0）、B(0,4),动点P(x ,y)在线段AB上运动，则xy的
最大值为 3 .
2、圆 x2 y2 2x 4y 3 0上的点到直线x y 3 0的距离的最大值是 3 2 .
变式训练3：定长为l(l
2b2 a
)的线段AB的端点在双曲线
x2 a2
y2 b2
1的右支上，
则AB中点M的横坐标的最小值为
.
y
解：如图，作出双曲线的右准线，过A、B作AA、BB垂直l，
A A’
垂足为A、B,过AB的中点M作MM 垂直l，垂足为M ，
M’
M
O
则求M点横坐标的最小值，实质上是求线段MM 的最小值。
课堂小结
通过本课我们收获了……
1、解决解析几何中的最值问题，通常有 （1）代数法：通过化归转化，建立所求变量的目标函数，运用函数思想求最值。 （2）几何法：根据所求变量的几何意义，利用平面几何知识求最值。
2、解决圆锥曲线中的最值问题，必须在熟练并准确地掌握圆锥曲线的定义、性 质的基础上，灵活运用函数与方程、转化与化归及数形结合等思想方法。要充 分认识和体验某些几何量的几何意义，重视“以形助数”和“以数究形”的简 化运算的功能。
B’
B
F
x
Q MM 1 (AA BB) ①
l
2
据双曲线的第二定义有
AF
e，BF
e，可得，AA 1 AF，BB 1 BF
AA BB
e
e
代入①，结合三角形两边之和大于第三边得，MM 1 (AF BF) 1 AB,
2e
2e
当且仅当A、F、B三点共线时，即AB过焦点F时，有AF BF AB，
y
A（0，1）
O
x
B
例2、直线x y 3 0和抛物线y2 4x交于A、B两点,在抛物线
AOB上求一点C，使ABC的面积最大.
y
A
O
x
C
B
变式训练1：求ABC的面积最大值. 变式训练2：直线x y 3 0和抛物线x2 4y交于A、B两点. 在抛物线上AOB求一点C，使VABC的面积最大.
即MM m in
1 2e
AB
l. 2e
此时x a2 l al ，故x a2 al a(l 2a) .
c 2e 2c
c 2c 2 a2 b2
反思：求解本题的关键是审题时对双曲线定义及平面几何知识的把握和应用。
提醒：一般的，与圆锥曲线焦半径有关的问题要注意圆锥曲线定义的运用， 包括焦半径公式。
则 MF MH
e
54 ， MH
5 4
4 MF，
于是 5 MF MB MH MB HB 17
可见， 4 当且仅当B、M、H共线时，4
y
BM
O
F
H
x
5 MF MB取最小值17 .
4
4
反思：从椭圆的两个等价定义出发，再将问题转化为平面几何中的 问题；三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边， 这是解决此类问题的常见思路.
3、在抛物线 y2 2x上求一点P, 使P到焦点F与到点 A ( 3,2 )的距离之和
最小，则点P的坐标为 2, 2 .
4、平面内有一线段AB,其长为3 3 ,动点P满足PA－PB=3，O为AB的中点，
则OP的最小值为
3 2.
二、典型例题精析
例1、椭圆 x2 y2 1上过点A（0，1）引椭圆的任意一条弦AB,求：弦长AB的最大值. 4
1
4、已知x, y，满足 x y 1 (x y) 0，则(x 1)2 ( y 1)2的最小值是 2 .
课外作业： 巩固练习
【巩固练习】
1、过点（1，2）的直线l将圆(x 2)2 y2 4分成两段弧，当弧所对的圆心角最小时， 直线l的斜率k 2 .
2
2、已知AC, BD为圆e : x2 y2 4的两条相互垂直的弦，垂足为M (1, 2)则四边形ABCD 的面积的最大值为 5 .
3、已知点P是直线2x y 10 0上的一个动点，PA、PB是和圆x2 y2 4相切于A、 B两点，则四边形PAOB面积的最小值是 8 .