M x IP
r max
r max
I P 2dA
A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强 度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形 的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几 何量，包括形心、静矩、惯性矩、惯性半径、 极惯性矩、惯性积、主轴等。
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的移轴定理
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
y z1
A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y z1
z
惯性矩与惯性积的移轴定理
I y 1 z1 d A
2 A
dA O a O´ b
I y 1 z b dA
2 A 2 A
I z1 y1 dA
2 A
y
y1
z
I y1z1 y1 z1dA
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
z
I y z 2 dA
A
A
——图形对 y 轴的惯性矩
I z y 2 dA ——图形对 z轴的惯性矩
dA
I yz yzd A ——图形对 y z 轴的惯性积
A
A
O
r
y
z
I P r 2 dA ——图形对 O 点的极惯性矩
α O
I y1 I z1
z1
I y 1 z1 d A
2 A
α z
I z1 y1 dA
2 A
Iz I y 2 Iz I y 2

Iz I y 2 Iz I y 2
cos2 I yz sin2 cos2 I yz sin2
I y1z1 y1 z1dA
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩与惯性积的转轴公式
y 已知： Iy，Iz，Iyz ,α O α z 求： Iy1，Iz1，Iy1z1
α
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
y
y1 zsin ycos z1 zcos ysin
y1 z
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
I y1 I z1
Iz I y 2 Iz I y 2

Iz I y 2 Iz I y 2
cos2 I yz sin2 cos2 I yz sin2
I y0 z0 yzdA 0
A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形 几何性质
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第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
问题: 为什么要研究截面图形 的几何性质?
x const.
FN
dA F
A x
N
x dA FN
A
Mx
O
r
FN x A
y
I y0 z0 yzdA 0
A
α0 α0 O z
tan2 0
2 I yz Iy Iz
I y 0 I max I y I z 1 I z 0 I min 2 2
I
y
2 I z 4 I yz 2
可以证明，图形对于过一点不同坐标轴的惯性矩各不相同， 而对于主轴的惯性矩是这些惯性矩的极大值和极小值。
S y zdA
A
S y AzC
S z ydA
A
S z AyC
A
S yC z A

ydA A
zC
Sy A
zdA
A
A

已知静矩，可以确定图形的形心坐标 已知图形的形心坐标，可以确定静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
zC
I y1z1
I y Iz 2
sin2 I yz cos2
tan2 0
2 I yz Iy Iz
I y 0 I max I y I z 1 I z 0 I min 2 2
I
y
2 I z 4 I yz 2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
y
z
S y zdA
A
——图形对于 y 轴的静矩
dA
y
O
z
S z ydA
A
——图形对于 z 轴的静矩
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系
对于组合图形
n
S z A1 y C1 A2 y C 2 An y Cn Ai y Ci i 1 n S y A1 z C1 A2 z C 2 An z Cn Ai z Ci i 1 n
A
I y1z1
I y Iz 2
sin2 I yz cos2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y
z
dA
y
O
I yz yzdA 0
A
z
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
z y
z y
dA
y z
y
O O
I yz yzdA 0
与应力分析相关的截面图形几何性质
例 题 10 y
dA
dr
已知：圆截面直径d 求：Iy， Iz， IP
解：取圆环微元面积
dA 2 π rdr
z
IP 1 I y I z r 2 dA 2 2 A 4 1 d π d 2 r 2 2 π r dr 0 2 64 πd 4 IP 2I y 32
z
A dA
y
如果y、z轴通过图形形心C， 上述各式中的Sy＝Sz＝0
C
a O´
y1
z
b
I y1 I y b A 2 I z1 I z a A I y1z1 I yz abA
2
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
y z1
A
I P r 2 dA
A
＞0
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径
y
z
I y z 2 dA
A
I z y 2 dA
A
dA
A
O
r
I P r 2 dA
A
y
z
IP I y I z
第6章 梁的应力分析与强度计算
A
y1=y＋a z1=z＋b
I z 1 y a dA
A
I y1z1 y a z b dA
2 I z1 I z 2aS z a A I y1z1 I yz aS y bS z abA I y1 I y 2bS y b 2 A
A
iy
Iy A
——图形对 y 轴的惯性半径
iz
Iz A
——图形对 z 轴的惯性半径
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 y
z
I y z 2 dA
A
＞0
dA
y
I z y 2 dA ＞ 0
A
O
z
I yz yzd A ＞ 0 或 ＜ 0
静矩、形心及其相互关系
Sz yC A
yC

A
ydA A
C
O z
zC
Sy A
zdA
A
A 如果轴通过图形形心，则图形对这一轴的静矩等于零。 如果图形对轴的静矩等于零，则这一轴通过图形形心。 图形形心与坐标系（观察者）无关。
A
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
第6章 梁的应力分析与强度计算
与应力分析相关的截面图形几何性质
静矩、形心及其相互关系 惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径 惯性矩与惯性积的移轴定理
惯性矩与惯性积的转轴的概念 主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩
组合图形的形心、形心主轴、形心主惯性矩 的计算方法
第6章 梁的应力分析与强度计算
z
惯性矩与惯性积的移轴定理
A dA
y
O
a O´
y1
I y1 I y b 2 A 2 I z1 I z a A z I y1z1 I yz abA
b 因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心 轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。
a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要 注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时 为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。