2019-2020学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的．1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--„，{|}B x y x ==，则(A B =U ) A ．{|2}x l x -剟B ．{|02}x x 剟C ．{|}x x l -…D ．{|0}x x …2．（5分）命题“x R ∀∈，210x x -+>”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+„B ．x R ∀∈，210x x -+<C ．0x R ∃∈，2010x x -+„ D ．0x R ∃∈，2010x x -+< 3．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为5，则双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．（5分）设0.5log 3a =，30.5b =，0.51()3c -=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<5．（5分）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为( ) A ．216B ．480C ．504D ．6246．（5分）函数||sin y x x =+的部分图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin (θ= )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-8．（5分）函数22log ,1()(1),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(2,4)-D ．(2-，4]二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（5分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出( )A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 10．（5分）已知函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线4x π=对称，则( )A ．函数()12f x π+为奇函数B ．函数()f x 在[12π，]3π上单调递増C ．若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 11．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则( )A ．直线1BD ⊥平面11A C DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范用是[45︒，90]︒ D ．直线1C P 与平面11A C D 612．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，点P 在l 上的射影为1P ，则( )A ．若126x x +=．则||8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设(0,1)M ，则1||||2PM PP +…D ．过点(0,1)M 与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条 三、填空題：本題共4小題，每小题5分，共20分．13．（5分）若向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ()a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 的夹角为 ．14．（5分）已知随机变量2(1,)X N σ∽，(11)0.4P X -<<=，则(3)P X =… ．15．（5分）设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线1x y O --=的最小距离为 ． 16．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，23AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为 ；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟．17．（10分）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，26a =， 求ABC ∆的面积．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)()n n S n a n N =+∈且12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a n n b a =-．求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，//AD BC ，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ．SCD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =．（1）证明：直线//SD 平面ACE ； （2）求二面角S AC E --的余弦值．20．（12分）已知椭圆的22221x y a b +=3，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点， ||||8AF BF +=．（1）求椭圆的标准方程；（2）设(3,0)Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围．21．（12分）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13．（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润一维修工人工资）22．（12分）已知函数2213()()224f x x ax lnx ax x =-+-，其中0a e <<．（1）求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 零点的个数；（3）若()f x 存在两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e <．2019-2020学年山东省烟台市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的．1．（5分）已知集合2{|20}A x x x =--„，{|B x y ==，则(A B =U ) A ．{|2}x l x -剟B ．{|02}x x 剟C ．{|}x x l -…D ．{|0}x x …【解答】解：Q 集合2{|20}{|12}A x x x x x =--=-剟?，{|{|0}B x y x x ===…， {|1}A B x x ∴=-U …．故选：C ．2．（5分）命题“x R ∀∈，210x x -+>”的否定是( ) A ．x R ∀∈，210x x -+„B ．x R ∀∈，210x x -+<C ．0x R ∃∈，2010x x -+„ D ．0x R ∃∈，2010x x -+< 【解答】解：命题“x R ∀∈，210x x ++> “的否定是0x R ∃∈，2010x x -+„， 故选：C ．3．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．20x y ±=B ．20x y ±=C 0y ±=D 0y ±=【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得：c a =22514b a +=，可得12b a =，则双曲线C 的渐近线方程为：20x y ±=． 故选：B ．4．（5分）设0.5log 3a =，30.5b =，0.51()3c -=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：0.5log 30a =<Q ，30.5(0,1)b =∈，0.50.51()313c -==>，则a b c <<． 故选：A ．5．（5分）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为( ) A ．216B ．480C ．504D ．624【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，“御”排在第一，将剩下的“五艺”全排列，安排在剩下的5周，有55120A =种排法， ②，“御”不排在第一，则“御”的排法有4种，“乐”的排法有4种，将剩下的“四艺”全排列，安排在剩下的4周，有4424A =种情况， 则此时有4424384⨯⨯=种排法， 则一共有120384504+=种排法； 故选：C ．6．（5分）函数||sin y x x =+的部分图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：当0x …时，sin y x x =+， 1cos 0y x '=+…，函数y 单调递增，当[0x ∈，]2π时，12y '剟，所以函数sin y x x =+在[0，]2π图象在y x =上方，排除A ，C当0x <时，sin y x x =-+，1cos 0y x '=-+„，函数y 单调递减，当[2x π∈-，0]时，10y -'剟，所以函数sin y x x =+在[2π-，0]图象在y x =-下方，排除B ， 故选：D ．7．（5分）设当x θ=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin (θ= )A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【解答】解：34()3sin 4cos 5(sin cos )5sin()55f x x x x x x ϕ=+=+=+，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，由()5sin()5f θθϕ=+=-， 可得sin()1θϕ+=-，∴22k πθϕπ+=-+，k Z ∈，22k πθϕπ=--+，k Z ∈，∴3sin sin(2)sin()cos 225k ππθϕπϕϕ=--+=--=-=-， 故选：C ．8．（5分）函数22log ,1()(1),1x x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(2,4)-D ．(2-，4]【解答】解：根据函数解析式作出函数图象如图： 则有212m -⨯+<，解得4m <， 故选：A ．二、多项选择题：本題共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合題目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．（5分）某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了50名男生和50名女生，每位学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算2K 的观测值 4.762k ≈，则可以推断出( )A ．该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35B ．调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意C ．有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异D ．有99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 【解答】解：由统计表格知：女生对食堂的满意率为：45；男生对食堂的满意率为35；故A ，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为35，A 正确；对于B ，应为该校女生比男生对食堂服务更满意；B 错误； 由题意算得，2 4.762 3.841k =>，参照附表，可得： 有95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异； 故C 正确，D 错误． 故选：AC ．10．（5分）已知函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线4x π=对称，则( )A ．函数()12f x π+为奇函数B ．函数()f x 在[12π，]3π上单调递増C ．若12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 【解答】解：Q 函数()sin(3)()22f x x ππϕϕ=+-<<的图象关于直线4x π=对称，342k ππϕπ∴⨯+=+，k Z ∈；22ππϕ-<<Q ，4πϕ∴=-；()sin(3)4f x x π∴=-；对于A ，函数()sin[3()]sin(3)12124f x x x πππ+=+-=，根据正弦函数的奇偶性，所以()()f x f x -=-因此函数()f x 是奇函数，故A 正确．对于B ，由于[12x π∈，]3π，3[04x π-∈，3]4π，函数()sin(3)4f x x π=-在[12π，]3π上不单调，故B 错误；对于C ，因为()1max f x =，()1min f x =-又因为12|()()|2f x f x -=，()sin(3)4f x x π=-的周期为23T π=，所以则12||x x -的最小值为3π，C 正确； 对于D ，函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数()sin[3()]sin3444f x x x πππ-=--=-，故D 错误．故选：AC ．11．（5分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则( )A ．直线1BD ⊥平面11A C DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范用是[45︒，90]︒ D ．直线1C P 与平面11A C D 6【解答】解：在A 中，1111AC B D ⊥Q ，111AC BB ⊥，1111B D BB B =I ， 11AC ∴⊥平面11BB D ，111AC BD ∴⊥，同理，11DC BD ⊥， 1111A C DC C =Q I ，∴直线1BD ⊥平面11A C D ，故A 正确；在B 中，11//A D B C Q ，1A D ⊂平面11A C D ，1B C ⊂/平面11A C D ， 1//B C ∴平面11A C D ，Q 点P 在线段1B C 上运动，P ∴到平面11A C D 的距离为定值，又△11A C D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，故B 正确； 在C 中，异面直线AP 与1A D 所成角的取值范用是[60︒，90]︒，故C 错误；在D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为1，(P a ，1，)a ，则(0D ，0，0)，1(1A ，0，1)，1(0C ，1，1)，1(1DA =u u u u r ，0，1)，1(0DC =u u u u r ，1，1)，1(C P a =u u u u r，0，1)a -，设平面11A C D 的法向量(n x =r，y ，)z ，则110n DA x z n DC y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u u r r g u u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，1，1)-， ∴直线1C P 与平面11A C D 所成角的正弦值为：11||||||C P n C P n u u u u r r g u u u u r r g ， ∴当12a =时，直线1C P 与平面11A C DD 正确．故选：ABD ．12．（5分）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，点P 在l 上的射影为1P ，则( )A ．若126x x +=．则||8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设(0,1)M ，则1||||2PM PP +…D ．过点(0,1)M 与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条 【解答】解：若直线的斜率存在，设(1)y k x =-， 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，联立解方程组2222(24)0k x k x k -++=， 212224k x x k ++=，121x x =， A ，若126x x +=，则21k =，故1k =或1-，21212||11()42428PQ x x x x ++-=g，故A 正确；取PQ 点中点M ，M 在l 上的投影为N ，Q 在l 上的投影为Q '，根据抛物线的定义，1||||PP PM =，||||QQ QM '=，M ，N 为梯形的中点，故111||(||||)||22MN PP QQ PQ '=+=，故B 成立； 对于C ，(0,1)M ，1||||||||||2PM PP MP PF MF +=+… 过(0,1)M 相切的直线有2条，与x 轴平行且与抛物线相交且有一个交点的直线有一条，所以最多有三条． 故选：ABC ．三、填空題：本題共4小題，每小题5分，共20分．13．（5分）若向量a r ，b r 满足||1a =r ，||b =r 且()a a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 的夹角为 34π．【解答】解：Q 向量a r ，b r 满足||1a =r，||b =r ()a a b ⊥+r r r ，设a r与b r 的夹角为θ，则有()0a a b +=r r g，即2a a b =-r r r g ，故有11cos θ=-，cos 2θ∴=． 再由0θπ剟，可得34πθ=， 故答案为34π． 14．（5分）已知随机变量2(1,)X N σ∽，(11)0.4P X -<<=，则(3)P X =… 0.1 ． 【解答】解：Q 随机变量2(1,)X N σ∽，∴对称轴为1x =， 又(11)0.4P X -<<=，(13)0.4P X ∴<<=，则1(3)[1(13)]0.12P X P x =--<<=…．故答案为：0.1．15．（5分）设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线1x y O --=的最小距离为【解答】解：由2x y e x =+，得2x y e x '=+，设平行于直线10x y --=的直线与曲线2x y e x =+上切于0(x ，0)y ， 则0021x e x +=，解得00x =，则切点为(0,1)，∴过切点的直线方程为1y x =+，即10x y -+=．∴点P 到直线10x y --=的最小距离为d ==16．（5分）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，6PA =，AB =2AC =，4BC =，则：（1）球O 的表面积为 52π ；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 ． 【解答】解：（1）由题意如图所示：由题意知底面三角形为直角三角形，所以底面外接圆的半径22BCr ==，球心为过底面外接圆的圆心O '垂直于底面与中截面的交点O ， 即32PAOO '==，连接OA ， 设外接球的半径为R ，所以222222313R r OO '=+=+=， 所以外接球的表面积2441352S R πππ===g ；（2）若D 是BC 的中点，过点D 作球O 的截面，D ，O '重合， 则截面面积的最小时是与OO '垂直的面，既是三角形ABC 的外接圆，而三角形ABC 是外接圆半径是斜边的一半，即2，所以截面面积为224ππ=g ； 故答案分别为：52π，4π．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟． 17．（10分）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，6b c +=，26a = 求ABC ∆的面积．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【解答】解：若选①：由正弦定理得()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为(0,)A π∈， 所以3A π=，又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6bc +=，所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯=若选 ②：由正弦定理得：sin sin sin cos()6A B B A π=+．因为0B π<<，所以sin 0B ≠，sin cos()6A A π=+，化简得1sin sin 2A A A =-，即tan A =，因为0A π<<，所以6A π=． 又因为2222cos6a b c bc π=+-，所以22bc ==24bc =-所以111sin (246222ABC S bc A ∆==⨯-⨯=-若选 ③：由正弦定理得sin sinsin sin 2B CB A B +=， 因为0B π<<，所以sin 0B ≠， 所以sin sin 2B CA +=，又因为BC A π+=-， 所以cos2sin cos 222A A A =， 因为0A π<<，022A π<<，所以cos 02A≠， 1sin22A ∴=，26A π=，所以3A π=．又2222()3a b c bc b c bc =+-=+-，a =6b c +=， 所以4bc =，所以11sin 4sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯=18．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)()n n S n a n N =+∈且12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设(1)2n a n n b a =-．求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解答】解：（1）由题意，2(1)n n S n a =+，*n N ∈． 则112(2)n n S n a ++=+，*n N ∈．两式相减，得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+， 整理，得1(1)n n na n a +=+． 即11n na a n n+=+，*n N ∈． ∴数列{}na n为常数列． ∴121n a a n ==， ∴数列{}n a 的通项公式为：2n a n =．（2）由（1），设(1)2(21)4n a n n n b a n =-=-g ．则123143454(21)4n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+-g ，23414143454(23)4(21)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋯+-+-g g ． 两式相减，得：231342(444)(21)4n n n T n +-=+⨯++⋯+--g ．21144342(21)414n n n T n ++--=+⨯---g ．化简，得120(65)499n n n T +-=+． 19．（12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，ABCD 为直角梯形，//AD BC ，BC CD ⊥，平面SCD ⊥平面ABCD ．SCD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，224BC AD CD ===，E 为BS 上一点，且2BE ES =．（1）证明：直线//SD 平面ACE ； （2）求二面角S AC E --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF ． 因为//AD BC ，所以AFD ∆与BCF ∆相似． 所以2BF BCFD AD==． 又2BE BFES FD==，所以//EF SD ． 因为EF ⊂平面ACE ，SD ⊂/平面ACE ，所以直线//SD 平面ACE ．（2）解：平面SCD ⊥平面ABCD ，平面SCD ⋂平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面SCD ．以C 为坐标原点，,CD CB u u u r u u u r所在的方向分别为y 轴、z 轴的正方向，与,CD CB u u u r u u u r均垂直的方向作为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．则(0C ，0，0)，(1S ，1，0)，(0A ，2，2)，224(,,)333E ，(0CA =u u u r ，2，2)，(1CS =u u u r ，1，0)，224(,,)333CE =u u u r ．设平面SAC 的一个法向量为(m x =r，y ，)z ， 则2200m CA y z m CS x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，令1x =，得(1m =r ，1-，1)， 设平面EAC 的一个法向量为(n x =r，y ，)z ，则2202240333n CA y z n CE x y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u r r g u u u r r g，令1z =，得(1n =-r ，1-，1)． 设二面角S AC E --的平面角的大小为θ，则||1cos ||||333m n m n θ===r r g r r g g ． 所以二面角S AC E --的余弦值为13．20．（12分）已知椭圆的22221x y a b +=3，F 是其右焦点，直线y kx =与椭圆交于A ，B 两点， ||||8AF BF +=．（1）求椭圆的标准方程；（2）设(3,0)Q ，若AQB ∠为锐角，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）设F '为椭圆的左焦点，连接F B '，由椭圆的对称性可知，||||AF F B '=， 所以||||||||28AF BF AF AF a '+=+==，所以4a =，又3c e a ==，222a b c =+，解得2b =， 所以椭圆的标准方程为：221164x y +=．（2）设点(,)A x y ，(,)B x y ''，则(3,)QA x y =-u u u r ，(3,)QB x y ''=-u u u r， 联立直线与椭圆的方程整理得：22(14)160k x +-=，所以0x x '+=，21614xx k-'=+，2221614k yy k xx k -''==+， 因为AQB ∠为锐角，所以0QA QB >u u u r u u u rg， 所以2216(1)(3)(3)3()99014k QA QB x x yy xx x x yy k +'''''=--+=-+++=->+u u u r u u u r g ，整理得：2207k >，解得：k <k <． 21．（12分）某企业拥有3条相同的生产线，每条生产线每月至多出现一次故障．各条生产线是否出现故障相互独立，且出现故障的概率为13．（1）求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；（2）为提高生产效益，该企业决定招聘n 名维修工人及时对出现故障的生产线进行修．已知每名维修工人每月只有及时维修1条生产线的能力，且每月固定工资为1万元．此外，统计表明，每月在不岀现故障的情况下，每条生产线创造12万元的利润；如果出现故障能及时维修，每条生产线创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线将不创造利润．以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一，应选用哪个？（实际获利=生产线创造利润一维修工人工资）【解答】解：（1）设3条生产线中出现故障的条数为X ，则1~(3,)3X B ．∴该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率：123124(1)()()339P X C ===．（2）①当1n =时，设该企业每月的实际获利为1Y 万元． 若0X =，则1123135Y =⨯-=，若1X =，则11228101131Y =⨯+⨯+⨯-=， 若2X =，则11218101119Y =⨯+⨯+⨯-=， 若3X =，则1120810217Y =⨯+⨯+⨯-=，又03328(0)()327P X C ===， 223126(2)()()3327P X C ===， 33311(3)()327P X C ===， 此时，实际获利1Y 的均值为：18126177335311972727272727EY =⨯+⨯+⨯+⨯=． ②当2n =时，设该企业每月的实际获利为2Y 万元．若0X =，则2123234Y =⨯-=， 若1X =，则212281230Y =⨯+⨯-=， 若2X =，则212182226Y =⨯+⨯-=， 若3X =，则21208201214Y =⨯+⨯+⨯-=，281261802343026142727272727EY ∴=+⨯+⨯+⨯=， 因为12EY EY <．于是以该企业每月实际获利的期望值为决策依据，在1n =与2n =之中选其一， 应选用2n =．22．（12分）已知函数2213()()224f x x ax lnx ax x =-+-，其中0a e <<．（1）求函数()f x 的单调区间； （2）讨论函数()f x 零点的个数；（3）若()f x 存在两个不同的零点1x ，2x ，求证：212x x e <． 【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2113()()()222xf x x a lnx x ax a x '=-+-+-Qg ，13()222xx a lnx x a a =-+-+-，()(1)x a lnx =--，令()0f x '=，得x a =或x e =， 因为0a e <<，当0x a <<或x e >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当a x e <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 的增区间为(0,)a ，(,)e +∞，减区间为(,)a e ，（2）取{1min δ=，2}a ，则当(0,)x δ∈时，102x a -<，0lnx <，3204xa ->，13()()(2)024xf x x x a lnx x a =-+->，又因为0a e <<，由（1）可知()f x 在(0,)a 上单增，因此，当(0x ∈，]a ，恒()0f x '>，即()f x 在(0，]a 上无零点下面讨论x a >的情况：第21页（共21页）①当04e a <<时，因为()f x 在(,)a e 单减，(,)e +∞单增，且f （a ）0>，f （e ）0<，2()0f e >， 根据零点存在定理，()f x 有两个不同的零点． ②当4e a =时，由()f x 在(,)a e 单减，(,)e +∞单增，且f （e ）0=， 此时()f x 有唯一零点e ．③若4e a e <<，由()f x 在(,)a e 单减，(,)e +∞单增，()f x f …（e ）()04e e a =->，此时()f x 无零点 综上，若04e a <<，()f x 有两个不同的零点；若4e a =，()f x 有唯一零点e ；若4e a e <<，()f x 无零点． （3）证明：由（2）知，04e a <<，且12a x e x <<<， 构造函数2()()()e F x f x f x=-，(,)x a e ∈， 则424324323()()(1)(1)()(1)e ae x ax e ax e F x x a lnx lnx lnx x x x -+-'=-----=-g 令4324()g x x ax e ax e =-+-，(,)x a e ∈， 因为当(,)x a e ∈时，220x e ax +->，220x e -<， 所以()0g x <，又110lnx lne -<-=，所以()0F x '>恒成立，即()F x 在(,)a e 单增．于是当a x e <<时，()F x F <（e ）0=，即2()()e f x f x<， 因为1(,)x a e ∈，所以211()()e f x f x <， 又12()()f x f x =，所以221()()e f x f x <， 因为2x e >，221e e e x e>=，且()f x 在(,)e +∞单增， 所以由221()()e f x f x <，可得21e x e x <g ， 即212x x e <．。