例1
在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角. D1 A1 B1 O D A B C C1
例2 如图，AB为平面α的一条斜线，B为斜足， AO⊥平面α，垂足为O，直线BC在平面α内，已知 ∠ABC=60°，∠OBC=45°，求斜线AB和平面α所 成的角. A
例2 已知：正方体中，AC是面对角线，BD'是 与AC 异面的体对角线. 求证：AC⊥BD'
D′ A′ D A B B′
C′
C
证明： 证明：连接BD 因为正方体ABCD-A'B'C'D' 因为正方体 所以DD‘⊥平面ABCD ⊥ 又因为 AC ⊂ 平面ABCD AC ⊥ DD ' 所以 AC、 因为AC、BD 为对角线 所以AC⊥BD 因为DD'∩BD=D 所以AC⊥平面D'DB 所以AC⊥BD'
B D
O C
α
思考1 思考 如图，∠BAD为斜线AB与平面α所成的角，AC为 平面α内的一条直线，那么∠BAD与∠BAC的大小关 系如何？ B 解：作BO⊥AD于O， BE⊥AC于E， 则 BD<BE A o D C
sin∠BAD<sin∠BAC ∠BAD >∠BAC
α
E
思考2 思考 两条平行直线与同一个平面所成的角的大小 关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平 面所成的角的大小关系如何？
问题提出 前面讨论了直线与平面垂直的问题，那么直 线与平面不垂直时情况怎么样呢？
第2课时 课时
直线与平面所成的角
线面角相关概念
平面的斜线 平面的垂线
P
斜足A
l α A B
垂足B
斜线PA在平面内的射影 斜线PA与平面α所成的角为∠PAB
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的 射影所成的角 (0,90 0 ) 2.平面的垂线与平面所成的角为直角 2.平面的垂线与平面所成的角为直角 一条直线与平面平行或在平面内， 3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这 条直线与平面所成的角的0 条直线与平面所成的角的00角 一条直线与平面所成的角的取值范围是 [0,900 ]
二面角的取值范围
[0 ,180 ]或 [0，π ]
0 0
β l
0度角 00~1800
α
180度角
例1.在正方体中，找出二面角C1-AB-C的平 面角，并指出大小.
D1 B1 C1
A1
N M D C
A
B
端点
例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1AC-B的正切值.
C1 B1 C B
A
A
D
C
B
D
C
α
B
边上的高时， 当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在 直线与桌面所在平面α垂直 垂直． 直线与桌面所在平面 垂直．
思考5 思考 （1）有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面α 上的一条直线垂直，就可以判断AD 垂直平面α ，你 同意他的说法吗？ （2）如图，由折痕 AD ⊥ BC ，翻折之后垂直关系 不变， AD ⊥ CD ， AD ⊥ BD ．由此你能得到什么结 论？
α
O
B
m
β
记为：二面角α-m-β
二面角的图示
二面角的记号 （1）以直线 l 为棱，以 α , β （2）以直线AB为棱，以 α , β 为半平面的二面角记为： 为半平面的二面角记为：
α −l − β α − AB − β
B
α
l
β
α
β
A
思考3 思考3 两个相交平面有几个二面角？
探究 如何用平面角来表示二面角的大小？ 如何用平面角来表示二面角的大小？ β B l O A α β B l O A α
二面角α-l-β
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线 所成的角叫做二面角的平面角.
AB∠ A O B 即 为二面角α-AB-β的 平面角
注意：二面角的平面角必须满足： （1）角的顶点在棱上. （2）角的两边分别在两个面内. （3）角的边都要垂直于二面角的棱.
概念 直线上的一点将直线分割成两部分，每一部 分都叫做射线. 平面上的一条直线将平面分割成 两部分，每一部分叫半平面.
射线 射线
半平面
半平面
概念
A
从一点出发的两条射线， 构成平面角. 记作∠AOB 同样,从一条直线出发的 两个半平面所组成的图形叫 做二面角.这条直线叫做二面 角的棱，这两个半平面叫做 二面角的面.
1
B1 C B
A1 D A
思考2 如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直 线a，b的位置关系如何？
l
a
相交
l
a b
平行
b
l
a
异面
b
思考3 思考 如果直线a，b都垂直于平面α，那么a与b 一定平行吗？
a b
α
直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
a b
α
a ⊥α ⇒ a // b b ⊥α
直线与平面垂直
性质定理的证明 反证法证明： a b b’
c
α
O
如图，已知 α Iβ = l, C ⊥α,于点A， A B C ⊥ β 于点B， a ⊂α, a ⊥ A , B 求证： a// l . 例1 C β B α l A a
2.3 直线、 直线、平面垂直的 判定及其性质
主要内容
2.3.1 直线与平面垂直的判定 2.3.2 平面与平面垂直的判定 2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质
2.3.1 直线与平面垂直的 判定
复习1 复习1 直线和平面的位置关系
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
思考3 思考3 一条直线与一平面垂直的特征是什么？ 一条直线与一平面垂直的特征是什么？
特征：直线垂直于平面内的任意一条直线． 特征：直线垂直于平面内的任意一条直线．
A
α
C′
C
B′
B
直线和平面垂直
定义 如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都 垂直，我们说直线 l 与平面α 互相垂直.
记为l ⊥ α
例1. 如图，已知
a // b, a ⊥ α，求证 b ⊥ α .
a
证明：在平面 α 内作 两条相交直线m，n． 因为直线 a ⊥ α ，
b
n
根据直线与平面垂直的定义知 a ⊥ m, a ⊥ n. 又因为 b // a 所以 b ⊥ m, b ⊥ n.
α
m
又 m ⊂ α , n ⊂ α , m, n 是两条相交直线， 所以 b ⊥ α .
O
D1 A1 D A
例3 如图所示，河堤斜面与水平面所成二面角 为300，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB 的夹角为450 ，沿这条直道从堤脚C向上行走10m到 达E处，此时人升高了多少m？
D E A C
O F
B
小结二面角的平面角的作法： 小结二面角的平面角的作法：
1.定义法： 1.定义法： 定义法 根据定义作出来. 根据定义作出来. 2.作垂面： 2.作垂面： 作垂面 作与棱垂直的平面与两半平面 的交线得到. 的交线得到. 3.应用三垂线定理： 3.应用三垂线定理： 应用三垂线定理 应用三垂线定理或其逆定理作 出来. 出来.
思考3 思考3 1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能 1.两条平行直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形？ 是哪些图形？ 2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能 2.两条相交直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形？ 是哪些图形？ 3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能 3.两条异面直线在同一个平面内的射影可能 是哪些图形？ 是哪些图形？
观察 旗杆与地面的位置关系
大桥的桥柱与水面的位置关系 线面垂直
直线和平面垂直
思考1 思考 旗杆与地面中的直线的位置关系如何？ 旗杆与地面中的直线的位置关系如何？
思考2 思考2 将一本书打开直立在桌面上， 将一本书打开直立在桌面上， 观察书脊 想象成一条直线） （想象成一条直线）与桌面的位置关系呈什么 状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置 状态？ 关系如何？ 关系如何？
D
C E A
B
如图，四棱锥P ABCD的底面为矩形 PA⊥底 的底面为矩形， 例3 如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA⊥底 面ABCD，PA=AD，M为AB的中点，求证：平面PMC⊥平 ABCD，PA=AD， AB的中点，求证：平面PMC⊥平 的中点 PMC⊥ 面PCD.
P
F E
D A M B
AC ⊥ BC PA I AC = A ⇒ PA ⊂ 面PAC AC ⊂ 面PAC
PA ⊥ BC
BC ⊥面 PAC BC ⊂ 面PBC

⇒面 PAC ⊥面 PBC
例2 在四面体ABCD中，已知AC⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°，∠BAD=60°，求证：平面ABC⊥平面 ACD.
A
A
D
C
B
D
C
α
B
线面垂直的判定
一条直线与一个平面内的两条 判定定理 一条直线与一个平面内的两条 直线都垂直， 相交直线都垂直 则该直线与此平面垂直． 相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
l⊥a l ⊥b a ⊂α b ⊂α aIb = A
⇒ l ⊥ α
l
b
α
A
a
作用： 作用： 判定直线与平面垂直． 判定直线与平面垂直． 思想： 思想： 直线与平面垂直 直线与直线垂直