AC1 异步电机的矢量控制理论本章首先阐述异步电动机的三相坐标系下的数学模型，然后根据坐标变换理论，得到了它在两相静止坐标系下和两相同步坐标系下的数学方程，在此基础之上介绍了异步电机的矢量控制原理【14】。

1.1 异步电机的数学模型由于异步电机矢量控制调速系统的控制方式比较复杂，要确定最佳的方式，必须对系统动静态特性进行充分的研究。

异步电机本质上是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统，为了便于研究，一般进行如下假设:（1)三相定子绕组和转子绕组在空间均分布，即在空间互差所产生的磁动势沿气隙圆周按正弦分布，并忽略空间谐波;(2)各相绕组的自感和互感都是线性的，即忽略磁路饱和的影响; (3)不考虑频率和温度变化对电阻的影响; (4)忽略铁耗的影响。

无论三相异步电动机转子绕组为绕线型还是笼型，均将它等效为绕线转子，并将转子参数换算到定子侧，换算后的每相绕组匝数都相等。

这样异步电机数模型等效电路如图1.1所示。

120oAA A sA s AB B B s B s BC C C s C s C d u i R i R p dtd u i R i R p dt d u i R i R p dt ψψψψψψ⎧=+=+⎪⎪⎪=+=+⎨⎪⎪=+=+⎪⎩图1.1 异步电机的物理模型图1.1中，定子三相对称绕组轴线A 、B, C 在空间上固定并且互差 ，转子对称绕组的轴线a 、b 、 c 随转子一起旋转。

我们把定子A 相绕组的轴线作为空间参考坐标轴，转子a 轴和定子A 轴间的角度作为空间角位移变量。

规定各绕组相电压、电流及磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。

这样，我们可以得到异步电机在三相静止坐标系下的电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程。

1.1.1 异步电机在三相静止坐标系下的数学模型 1、三相定子绕组的电压平衡方程为120oθa a a ra r ab b b r b r bc c c r c r cd u i R i R p dtd u i R i R p dt d u i R i R p dt ψψψψψψ⎧=+=+⎪⎪⎪=+=+⎨⎪⎪=+=+⎪⎩/du dt(1-1)式中以微分算子P 代替微分符号相应地，三相转子绕组折算到定子侧的电压方程(1-2)式中：为定子和转子相电压的瞬时值；为定子和转子相电流的瞬时值；为定子和转子相磁链的瞬时值；为定子和转子电阻。

将定子和转子电压方程写成矩阵形式：,,,,,A B C a b cu u u u u u ,,,,,A B C a b ci i i i i i ,,,,,A B C a b cψψψψψψ,s rR R000000000000000000000000000000u i R A A A s u i R B B B su i R C C C s p u i R a a a r R u i r b b b R u i r c c c ψψψψψψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A AAABAC Aa Ab Ac B B BA BB BC Aa Ab Ac C C CA CB CC Ca Cb Cc aA aB aC aa ab ac a a bA bB cC ba bb bc b b cA cB cC ca cbcc c c i L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L L L L L L L i L L L L L L i L L L L L L i ψψψψψψ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1-3)2、磁链方程由于绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此，根据图1-1可列出三相异步电机的磁链方程（1-4）Liψ=()sin ()sin(120)()sin(120)e n m A a B b C c A b B c C a A c B a C b T p L i i i i i i i i i i i i i i i i i i οοθθθ⎡=++++++⎣⎤+++-⎦或者写成： (1-5) 式中L 是6x6电感矩阵，其中对角线上元素是各绕组的自感，其余元素是各烧组间的互感。

与电机绕组交链的磁通主要有两类:一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通;另一类是穿过气隙的互感磁通，称为主磁通。

对于各相绕组，它所交链的磁通是主磁通与漏磁通之和，因此 定子各相自感为(1-6)转子各相自感为：aa bb cc m sr L L L L L ===+（1-7）在假设气息磁通为正线分布的条件下，两相绕组间的互感为：(1-8)(1-9)(1-10)(1-11)(1-12)从以上方程可知，定子绕组和转子绕组之间的互感与转子位置角 有关，它们是变参量，这是系统非线性的一个根源。

将方程(1-8)--(1-12)带入式(1-4)，即可得到磁链方程。

3、电磁转矩方程由机电能量转换原理，可得到电磁转矩方程 (1-13)AA BB CC m ssL L L L L ===+/2AB AC BC BA CA CB m L L L L L L L ======-/2ab ac bc ba ca cb m L L L L L L L ======-cos Aa Bb Cc aA bB cC m L L L L L L L θ======-cos(120)Ab Ba Bc cB Ca aC m L L L L L L L οθ======-+(240)Ac cA Ba aB Cb bC m L L L L L L L οθ======-+θre l n d J T T P dtω=+11122022A B C ii i i i αβ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎣⎦从上式可以看出，电磁转矩是定子电流、转子电流及角的函数，是一个多变量，非线性且强耦合的函数。

4、运动方程电机的运动方程为(1-14)式中为负载转矩; 为转动惯量。

对于恒转矩负载，阻尼系数D=0,则有（1-15）1.1.2 坐标变换及变换矩阵如果将交流电机的物理模型等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制问题就可以大为简化。

上节中得到的异步电机动态数学模型非常复杂，要分析和求解这些非线性方程显然是非常困难的，即便是做了一些假设，要画出清晰的结构图也并不容易。

采用坐标变换的方法可以使变换后的数学模型容易处理一些，有利于异步电机的分析和控制。

因此，坐标变换是实现矢量控制的关键。

由异步电动机坐标系可以看到，它涉及到了两种坐标变换式:3s/2s 变换和2s/2r 旋转变换，又称克拉克(Clark)变换和2s/2r 变换即派克(Park)变换。

通过坐标变换的方法，使得变化后的数学模型得到简化。

1. 3/2变换(Clark 变换)由电机学原理可知，交流电机三相对称的静止绕组A 、B 、C ，通以三相平衡的正弦电流 、 、 时，产生的合成磁动势是旋转磁动势F ，且以同步转速旋转。

两相绕组的轴线分别为、 ，空间位置相差，构成、 两相静止坐标系(坐标轴逆时针超前坐标轴)。

在该两相固定绕组 、中，加时间上相差的两相平衡交流电流 、时，同样也可以产生与三相定子合成磁动势相同的空间矢量F ，且同步角频率为 。

三相异步电动机的定子三相绕组和与之等效的两相异步电动机定子绕组、 ，各相磁势矢量的空间位置如图1.2所示。

根据变换前后总磁动势不变和变换前后总功率相等的原则，3s/2s 变换用矩阵可表示为θ(/)(/)(/)e l N r n rT T J P d dt D p ωω=++lT J A i B i C i1ωαβ90οαββα90οαβ90οi αi β1ωαβ10122122A B C i i i i i αβ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎣⎦⎢--⎢⎣⎦（1-16）α图1.2 三相静止到两相静止变换其反变换式如下：（2-17）因此，经过3s/2s 变换，可以将三相异步电机模型变换为两相正交的异步电机模型。

2、旋转变换(Park 变换)从图1.3中的两相静止坐标系到两相旋转坐标系M, T 的变换称作Park 变换，简称2s/2r 变换，其中s 表示静止，r 表示旋转。

如图1-3所示，其中，静止坐标系的两相交流分量和旋转坐标系的两个直流分量产生同样大小的同步旋转磁动势。

cos sin sin cos M T i i i i αβθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦cos sin sin cos M T i i i i αβθθθθ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0000s s s s m s s s s m m r m r r r r r r r m m r r r r r r u i R L p L p u i R L p L p L p L R L p L u i L L p L R L p u i ααββααββωωωω⎡⎤⎡⎤+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦图1.3 两相静止到两相旋转变换根据图1.3的几何关系写成矩阵形式如下（1-18）旋转反变换如下：（1-19）其中为M-T 坐标和静止的夹角 1.1.3 异步电机在两相坐标系下的数学模型上面分析得到了异步电机的动态数学模型，为了矢量控制分析，必须把它转换为M-T 旋转坐标系下的数学模型，因此，必须先将三相静止坐标系下的模型转换为两相静止坐标系下的模型。

然后，通过旋转变换将异步电机模型转换到M-T 坐标系中，其结果如下所示。

1、异步电机在两相静止坐标系的数学模型经过3s/2s 变换，就得到了三相异步电机在两相静止坐标系下的数学模型。

(1) 电压方程θαβ-αβ-s s s m r s s s m r r s s m r r s s m r L i L i L i L i L i L i L i L i αααβββαααβββψψψψ=+⎧⎪=+⎪⎨=+⎪⎪=+⎩re l n d J T T p dtω=+(1-20（2）磁链方程（1-21）（3）电磁转矩方程（1-22）（4）运动方程（1-23）在 坐标系中绕组都落在两根相互垂直的轴上，两组绕组间没有耦合，矩阵中所有元素均为常系数，消除了异步电动机在三相静止坐标系上的数学模型()e n m s r s r T p L i i i i βααβ=-αβ-11sm sm s s sm m st st e s s s e m m m s m r r r r rm rm s mm s r r r rt rt u i R L p L L p L u i L R L p L L p L p L R L p L u i L L p L R L p u i ωωωωωωωω+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦sm s sm m rmst s st m rtrm r rm m sm rt r rt m stL i L i L i L iL i L i L i L i ψψψψ=+⎧⎪=+⎪⎨=+⎪⎪=+⎩r e l n d J T T p dtω=+中的一个非线性的根源。