排列组合二项式递推数列求通项常见题型解法自用资料集排列组合的常见题型及其解法排列、组合的概念具有广泛的实际意义，解决排列、组合问题，关键要搞清楚是否与元素的顺序有关。

复杂的排列、组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本的排列、组合问题的类型与解法对学好这部分知识很重要。

一.特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

解法1 :（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有A4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有A种站法，故站法共有：A4-A5 = 48o（种）解法2:（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有A种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有A：种，故站法共有：A A4 = 480 （种）二.相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例2. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？6 3解：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有A6种，然后女生内部再进行排列，有A3种，所以排法共有：A6 A3 ^4320 （种）。

三•相离问题用插空法元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。

例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解：先将其余4人排成一排，有A44种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入，有A 种，所以排法共有：此A =1440 （种）四.定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。

解题方法是：先将n个元素进行全排列有A^种，m（m空n）个元素的全排列有A；种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有虫种排列方法。

A m排列组合二项式递推数列求通项常见题型解法自用资料集例4.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个？解：不考虑限制条件，组成的六位数有A5 A S种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有:=300 （个）五•分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。

例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？解：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共六•复杂问题用排除法对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。

在应用此法时要注意做到不重不漏。

例6.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（）A. 150 种B.147种C. 144种D.141 种解：从10个点中任取4个点有C10种取法，其中4点共面的情况有三类。

第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有4C；种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6 种；第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。

以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：C0 -4C： -6-3 = 141 （种）。

七.多元问题用分类法按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。

例7.已知直线ax by • c = 0中的a，b, c是取自集合｛- 3,—2, - 1, 0, 1, 2, 3｝中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。

a解：设倾斜角为厂由二为锐角，得tan ' - - 0 ,即卩a, b异号。

b（1 ）若c= 0, a, b各有3种取法，排除2个重复（3x—3y = 0, 2x—2y = 0, x — y = 0）,故有：3 X 3 —2 = 7 （条）。

（2）若C = 0 , a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：3X 3X 4= 36 （条）。

从而符合要求的直线共有：7+ 36 = 43 （条）八.排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。

例8.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？（种），第二步将这三组教师分派到 3种中学任教有 A 33种方法。

由分步计数原理得不同的分派方案共有:九. 隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题。

例9.有10个三好学生名额，分配到 6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？ 解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有 9个空，将5个隔板插入9个空,每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：C ； = 126 （种）例说二项式定理的常见题型及解法二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。

二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率 理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。

二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题岀现。

本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。

一、求二项展开式1•“ （a b ）n ”型的展开式— 1 4例1•求（3・.x ——）的展开式；J x解：原式=产 1）4=（3x 21）4T x x1413223 4= -T 【C 4（3X ）C 4（3X ） C 4（3X ） C 4（3x ） C 4]x= A （81X 484x 354x 212x 1）x2 12 1 = 81x 84 x 亠 亠 2 54x x小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题 目中会有体现的。

2•“ （a-b ）n ” 型的展开式解：可分两步进行: 第一步先将4名教师分为三组(1,1,2),( 2,1，),( 1,2,1)，共有:C4 C 2 c ；C 2 C 2 c ；1A 2A3 = 36 （种）。

因此共有 36种方案。

_ 1 4 、例2.求（3iX ■—）的展开式；2222本题主要考察了学生的“问题转化”能力 3 •二项式展开式的“逆用”123n例 3 •计算 1 _3C n+9Cn 一27C n + …・+(_1)n3nC n ；1 12 2 33 3nn n解：原式=C nCnZ ）C n「3） C nZ ）.…C n「3）十一3）=（ 一2）小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

二、通项公式的应用 1 .确定二项式中的有关元素a I x 9例4•已知（ '）9的展开式中x 3的系数为一，常数a 的值为x \ 2 4——r 3x ）r二 C 9（-1）r2三 a 9」X 2心x . 23 令一r 一9 =3，即 r =8 2依题意，得8,八 8小_49 .8 9‘C 9 （-1）2 a ，解得 a = -142 •确定二项展开式的常数项例5• （j x —一^）10展开式中的常数项是 _________________5解: T r ^C 1r oC.x ）10J ^31 ）r =（-1）r C ；0 x%rvx5 c令 5 - r=0，即 r = 6。

6所以常数项是（-1）910 =2103•求单一二项式指定幂的系数21 9 9例6・（03全国）（X - ）展开式中x 的系数是 — _____________2xr 29-r1 rr 18 -2r11 rr 1 r 1^3x解:「1=C9（x ）（-二）=C9x（石）（；）CL?） x9令18-3x =9,则r =3，从而可以得到x 的系数为：三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数（分析：解决此题，只需要把—1 4 —(3、一 x ——)改写成［3.. x (-Vx的形式然后按照二项展开式的格式展开即可C 3(<)3 =21 .填-?!2 3 4 5 2例7• (xT)-(xT) (x -1) —(x—1) * (x T)的展开式中，x的系数等于 __________________________222 2解：x的系数是四个二项展开式中4个含X的，则有-c2）（-i）0c；（_i）1_c4（-i）2c3（_i）3—（c； c；c4 c；）--202 7 3例8. （02全国）（X • 1）（X - 2）的展开式中，X项的系数是解：在展开式中，X3的来源有:2 6 6①第一个因式中取出X2，则第二个因式必出X，其系数为②第一个因式中取出1，则第二个因式中必出X3，其系数为C；（-2）4.X3的系数应为：C7（—2）C7（—2） =1008,填1008。

四、利用二项式定理的性质解题1.求中间项例9.求（1:—亍尸）10的展开式的中间项;V X解：幕T r 1 = C；0("T .展开式的中间项为C；0（依）5（-需）5V X 5即：-252X6当n为奇数时,当n为偶数时, 2.求有理项（a - b）n的展开式的中间项是（a - b）n上nC¥a2b2例10 •求X1 )103.x)的展开式中有理项共有 ____________ 项；解「T r1 二 ^。

（⑴10^ 一r 10 ；rr =C10^1)r X 3n 1 n」n 1C^a2b2.当r = 0,3,6,9 时，所对应的项是有理项。

故展开式中有理项有4项。

①当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式3.求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题11例11. （00上海）在二项式（X-1）的展开式中，系数最小的项的系数是；______解：；T rr1 p11 xZ(T)要使项的系数最小，则rr 必为奇数，且使C 11为最大，由此得r = 5，从而可知最小项的系数为5c6(一1)5八462（2） 一般的系数最大或最小问题解：记第r 项系数为T r ,设第k 项系数最大，则有r A r *又T r 二C 8 .2 ，那么有k1 A 1 kNC8-2 g .2 k A k *kC8-2C 8-21 2------ > --------..K -1 K -2「丄'丄l 9-K K解得3 _ k _ 4 ,57•系数最大的项为第3项T 3 = 7x 2和第4项T 4 -7x 2 （3） 系数绝对值最大的项例13•在（x - y ）7的展开式中，系数绝对值最大项是_______解：求系数绝对最大问题都可以将"（a-b ）n"型转化为"（a ■ b ）n"型来处理,4 A5 o c.故此答案为第4项C 7x 3y ，和第5项_ C 7x 2y 。