已知数列递推公式求通项公式的几种方法Revised on November 25, 2020求数列通项公式的方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nna n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n na是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则 所以3 1.n n a n =+-评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+⨯+转化为1231n n n a a +-=⨯+，进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。

例4 已知数列{}n a 满足1132313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++， 则111213333n n n n n a a +++-=+，故 因此11(13)2(1)2113133133223n n n n n a n n ---=++=+--⨯， 则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯-评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n n n a a +=+⨯+转化为111213333n n n n n a a +++-=+，进而求出112232111122321()()()()333333333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

三、累乘法例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n n a n a +=+，进而求出13211221n n n n a aa a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅，即得数列{}n a 的通项公式。

例6已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥① 所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+②用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥故11(2)n na n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅=-⋅⋅⨯=③由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，代入③得!13452n n a n =⋅⋅⋅⋅⋅=。

所以，{}n a 的通项公式为!.2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为11(2)n n a n n a +=+≥，进而求出132122n n n n a aa a a a a ---⋅⋅⋅⋅，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

四、待定系数法例7 已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯④将1235n n n a a +=+⨯代入④式，得12355225n n n n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯，等式两边消去2n a ，得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-⑤由1156510a -=-=≠及⑤式得50nn a -≠，则11525n n nn a a ++-=-，则数列{5}n n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n n n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n n a -的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

例8 已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设1123(2)n n n n a x y a x y +++⨯+=+⨯+ ⑥将13524n n n a a +=+⨯+代入⑥式，得整理得(52)24323n n x y x y +⨯++=⨯+。

令52343x x y y +=⎧⎨+=⎩，则52x y =⎧⎨=⎩，代入⑥式得 115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+⑦由11522112130a +⨯+=+=≠及⑦式，得5220nn a +⨯+≠，则115223522n n n n a a +++⨯+=+⨯+，故数列{522}n n a +⨯+是以1152211213a +⨯+=+=为首项，以3为公比的等比数列，因此1522133n n n a -+⨯+=⨯，则1133522n n n a -=⨯-⨯-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式13524n n n a a +=+⨯+转化为115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+，从而可知数列{522}n n a +⨯+是等比数列，进而求出数列{522}n n a +⨯+的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。

例9 已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：设221(1)(1)2()n n a x n y n z a xn yn z ++++++=+++ ⑧ 将212345n n a a n n +=+++代入⑧式，得2222345(1)(1)2()n n a n n x n y n z a xn yn z ++++++++=+++，则等式两边消去2n a ，得22(3)(24)(5)222x n x y n x y z xn yn z ++++++++=++，解方程组3224252x xx y y x y z z+=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，则31018x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，代入⑧式，得2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++ ⑨由213110118131320a +⨯+⨯+=+=≠及⑨式，得2310180n a n n +++≠则2123(1)10(1)18231018n n a n n a n n ++++++=+++，故数列2{31018}n a n n +++为以21311011813132a +⨯+⨯+=+=为首项，以2为公比的等比数列，因此2131018322n n a n n -+++=⨯，则42231018n n a n n +=---。

评注：本题解题的关键是把递推关系式212345n n a a n n +=+++转化为2213(1)10(1)182(31018)n n a n n a n n ++++++=+++，从而可知数列2{31018}n a n n +++是等比数列，进而求出数列2{31018}n a n n +++的通项公式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。

五、对数变换法例10 已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯，17a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，，所以100n n a a +>>，。

在5123n n n a a +=⨯⨯式两边取常用对数得1lg 5lg lg3lg 2n n a a n +=++ ⑩设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++○11 将⑩式代入○11式，得5lg lg3lg 2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++，两边消去5lg n a 并整理，得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+，则lg35lg 25x x x y y +=⎧⎨++=⎩，故lg34lg3lg 2164x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入○11式，得1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n +++++=+++ ○12 由1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠及○12式， 得lg3lg3lg 2lg 04164n a n +++≠， 则1lg3lg3lg 2lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164n n a n a n +++++=+++， 所以数列lg3lg3lg 2{lg }4164n a n +++是以lg3lg3lg 2lg 74164+++为首项，以5为公比的等比数列，则1lg3lg3lg 2lg3lg3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++，因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)5lg(332)lg(733n n n n n n n n n n n n a n ---------=+++---=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅1115116454151511642)lg(732)n n n n n -------⋅=⋅⋅则11541515164732n n n n n a -----=⨯⨯。