电磁场理论习题一1、求函数ϕ=xy+z-xyz 在点（1，1，2）处沿方向角πα=3，4πβ=，3πγ=的方向的方向导数.解：由于 M ϕ∂∂x =y －M yz = -1M y ϕ∂∂=2x y －(1,1,2)xz =0 Mzϕ∂∂=2z(1,1,2)xy -=31cos 2α=，cos 2β=，1cos 2γ=所以1cos cos cos =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γϕβϕαϕϕz y x lM2、 求函数ϕ＝xyz 在点（5, 1, 2）处沿着点（5, 1, 2）到点（9, 4, 19）的方向的方向导数。

解：指定方向l 的方向矢量为l ＝(9－5) e x +(4－1)e y +(19－2)e z ＝4e x +3e y +17e z其单位矢量zy x z y x e e e e e e l 314731433144cos cos cos ++=++=γβαο5,10,2)2,1,5(==∂∂==∂∂==∂∂MMMMMxyzxzyyzxϕϕϕ所求方向导数314123cos cos cos =•∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂οl z y x lMϕγϕβϕαϕϕ3、 已知ϕ=x 2+2y 2+3z 2+xy+3x-2y-6z ，求在点（0，0，0）和点（1，1，1）处的梯度。

解：由于ϕ∇=(2x+y+3) e x +(4y+x-2)e y +(6z-6)e z所以，(0,0,0)ϕ∇=3e x -2e y -6e z(1,1,1)ϕ∇=6e x +3e y4、运用散度定理计算下列积分：2232[()(2)]x y z sxz e x y z e xy y z e ds +-++⎰⎰g ÒI=S 是z=0 和 z=(a 2-x 2-y 2)1/2所围成的半球区域的外表面。

解：设：A=xz 2e x +(x 2y-z 3)e y +(2xy+y 2z)e z 则由散度定理Ω∇⎰⎰⎰⎰⎰g g ÒsA ds=Adv可得2I r dvΩΩΩ=∇==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰g 222Adv (z +x +y )dv2244220sin sin aar drd d d d r dr ππππθθϕϕθθ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰525a π=5、试求▽·A 和▽×A:(1) A=xy 2z 3e x +x 3ze y +x 2y 2e z(2)22(,,)cos sin z A z e e ρρφρφρφ=+ (3 ) 211(,,)sin sin cos r A r r e e e r r θφθφθθθ=++解：（1）▽·A=y 2z 3+0+0= y 2z 3▽×A=23232(2)(23)x yx y x e xy xy z e ∂∂∂=---∂∂∂x y z23322e e e x y z xy z x z x y(2) ▽·A=()[()]z A A A z φρρρρρφ∂∂∂++∂∂∂1 =33[(cos )(sin )]ρφρφρρφ∂∂+∂∂1=3cos ρφ▽×A=ρφρφρρρφρ∂∂∂∂∂∂z ze e e 1z A A A =221cos 0ρφρρρφρφρφ∂∂∂∂∂∂z e e e z sin=cos 2sin sin ze e e ρφρφρφρφ-+(3) ▽·A=22(sin )()1[sin ]sin r A A r A r r r r φθθθθθφ∂∂∂++∂∂∂ =2322sin cos ()()1(sin )[sin ]sin r r r r r r r θθθθθθφ∂∂∂++∂∂∂ =222212[3sin 2sin cos ]3sin cos sin r r r θθθθθθ+=+▽×A=21sin rr r r rr θφθφθθθφθ∂∂∂∂∂∂e e rsin e A A rsin A =21sin 1sin sin cos rr r r r θφθθθφθθθθ∂∂∂∂∂∂e e rsin e rsin=33cos 2cos cos sin r e e e r r θφθθθθ+-习题二1、总量为q 的电荷均匀分布于球体中，分别求球内，外的电场强度。

解: 设球体的半径为a ，用高斯定理计算球内，外的电场。

由电荷分布可知，电场强度是球对称的，在距离球心为r 的球面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。

在球外，r>a ，取半径为r 的球面作为高斯面，利用高斯定理计算：q r E dS D r s==•⎰204πε204r qE r πε=对球内，r<a ，也取球面作为高斯面，同样利用高斯定理计算：'420q r E dS D r s==•⎰πε33333343434'a q r a q r r q ===ππρπ304a rqE r πε=2、半径分别为a,b(a>b),球心距为c （c<a-b ）的两球面之间有密度为ρ的均匀体电荷分布，如图所示，求半径为b 的球面内任一点的电场强度。

解：为了使用高斯定理，在半径为b 的空腔内分别加上密度为+ρ和—ρ的体电荷，这样，任一点的电场就相当于带正电的大球体和一个带负电的小球体共同产生，正负带电体所产生的场分别由高斯定理计算。

正电荷在空腔内产生的电场为10113r e r E ερ=负电荷在空腔内产生的电场为2223rer E ερ-=单位向量1r e ，2r e 分别以大、小球体的球心为球面坐标的原点。

考虑到 c ce e r e r x r r ==-2211最后得到空腔内的电场为xe c E 03ερ=3、一个半径为a 的均匀带电圆柱体（无限长）的电荷密度是ρ，求圆柱体内,外的电场强度。

解：因为电荷分布是柱对称的，因而选取圆柱坐标系求解。

在半径为r 的柱面上，电场强度大小相等，方向沿半径方向。

计算柱内电场时，取半径为r ，高度为1的圆柱面为高斯面。

在此柱面上，使用高斯定理，有0202,,2ερρππεr E l r q q rl E dS D s====•⎰ 计算柱外电场时，取通过柱外待计算点的半径为r ，高度为1的圆柱面为高斯面。

对此柱面使用高斯定理，有2202,,2ερρππεr a E l a q q rl E dS D s ====•⎰ 4、一个半径为a 的均匀带电圆盘，电荷面密度是ρs 0,求轴线上任一点的电场强度。

解：由电荷的电荷强度计算公式''41)(3)')('(0dS r r r E sr r r s ⎰-=-ρπε及其电荷的对称关系，可知电场仅有z 的分量。

代入场点源点 x ze r =φφsin 'cos ''r e r e r y x +=φd dr r dS ''=电场的z 向分量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+=⎰⎰2/122002002/32200)(12)'(''4z a zs r z dr zr d s E a ερφπερπ 上述结果适用于场点位于z>0时。

但场点位于z<0时，电场的z 向量为))(1(22/12200z a z s E +--=ερ5、已知半径为a 的球内,外电场分布为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛=ar a r E a r r a E E rr λλ2020求电荷密度.解:从电场分布计算计算电荷分布,应使用高斯定理的微分形式: ρ=•∇D用球坐标中的散度公式,并注意电场仅仅有半径方向的分量,得出()()r r 1:a E 3r r 1:r 2r200r2r20=E ∂∂=>=E ∂∂=<ερερ时时a r a r6、求习题2-1的电位分布解：均匀带电球体在球外的电场为 Er=204/r q πε 球内电场为304/a rq Er πε=球外电位(r > a)为rq dr r q Edr rr0204/4/πεπεϕ===⎰⎰∞∞球内电位(a r ≤)为)(aq r a a q drr q dr a rq Edr arar0223020304/2/2/4/4/4/πεπεπεπεϕ+-=+==⎰⎰⎰∞∞)3(8/2230r a a q -=πε7、 电荷分布如图所示。

试证明，在r>>l 处的电场为E=40223r ql πε 证明:用点电荷电场强度的公式及叠加原理,有E=041πε(2)(l r q +22r q+2)(l r q -)当r>>l 时,2)(1l r +=22)1(11r l r +≈)321(1222Λ-+-r l r l r2)(1l r -=22)1(11r l r -≈)321(1222Λ+++r l r l r将以上结果带入电场强度表达式并忽略高阶小量,得出E=40223r ql πε8、 真空中有两个点电荷，一个电荷－q 位于原点，另一个电荷q/2位于（a ，0，0）处，求电位为零的等位面方程。

解：由点电荷产生的电位公式得电位为零的等位面为424100=+-r qr qπεπε 其中21222)(z y x r ++=， 212221])[(z y a x r ++-= 等位面方程简化为r r =12 即222222])[(4z y x z y a x ++=++- 此方程可以改写为22223234⎪⎭⎫ ⎝⎛=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a z y a x 这是球心在)0,0,34(a ,半径为32a 的球面。

9、一个圆柱形极化介质的极化强度沿其轴方向，介质柱的高度为L ，半径为a ，且均匀极化，求束缚体电荷分布及束缚面电荷分布。

解：选取圆柱坐标系计算，并假设极化强度沿其轴向方向，x e P P 0=如图示，由于均匀极化，束缚体电荷为0=•-∇=P ρ。

在圆柱的侧面，注意介质的外法向沿半径方向r e n =,极化强度在z 方向，故0=•=x e P ρ 在顶面，外法向为x e n =，故0P e P x sp =•=ρ 在底面，外法向为x e n -=，故0)(P e P x sp -=-•=ρ10、假设x<0的区域为空气，x>0的区域为电解质，电解质的介电常数为3εo ， 如果空气中的电场强度z y x e e e E 54++=（V/m ），求电介质中的电场强度2E 。

解：在电介质与空气的界面上没有自由电荷，因而电场强度的切向分量连续，电位移矢量的法向分量连续。

在空气中，由电场强度的切向分量x y t e e E 541+=，可以得出介质中电场强度的切向分量x y t e e E 542+=；对于法向分量，用n D D n 21=，即 x x E E 210εε=，并注意013,3εε==x E ，得出12=x E 。