【中考压轴题专题突破48】综合实践与创新问题（4）1．综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AD ＝2AB，E是AB延长线上一点，且BE＝AB，连接DE，交BC于点M，以DE为一边在DE的左下方作正方形DEFG，连接AM．试判断线段AM与DE的位置关系．探究展示：勤奋小组发现，AM垂直平分DE，并展示了如下的证明方法：证明：∵BE＝AB，∴AE＝2AB．∵AD＝2AB，∴AD＝AE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴．（依据1）∵BE＝AB，∴．∴EM＝DM．即AM是△ADE的DE边上的中线，又∵AD＝AE，∴AM⊥DE．（依据2）∴AM垂直平分DE．反思交流：（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？②试判断图1中的点A是否在线段GF的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接CE，以CE为一边在CE的左下方作正方形CEFG，发现点G在线段BC的垂直平分线上，请你给出证明；探索发现：（3）如图3，连接CE，以CE为一边在CE的右上方作正方形CEFG，可以发现点C，点B都在线段AE的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形ABCD和正方形CEFG的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．问题情境在综合实践课上，老师让同学们“以三角形的旋转”为主题进行数学活动，如图（1），在三角形纸片ABC中，AB＝AC，∠B＝∠C＝α．操作发现（1）创新小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针旋转角度α，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转角度α，得到△AFG，连接DF，得到图（2），则四边形AFDE的形状是．（2）实践小组将图（1）中的△ABC以点B为旋转中心，逆时针逆转90°，得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△AFG，连接DF、DG、AE，得到图（3），发现四边形AFDB为正方形，请你证明这个结论．拓展探索（3）请你在实践小组操作的基础上，再写出图（3）中的一个特殊四边形，并证明你的结论．问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题．问题情境如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接BE；探究发现（1）善思组发现：△ACD≌△BCE，请你帮他们写出推理过程；（2）钻研组受善思组的启发，求出了∠AEB度数，请直接写出∠AEB等于度；（3）奋进组在前面两组的基础上又探索出了CD与BE的位置关系为（请直接写出结果）；拓展探究（4）如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，试探究CM，AE，BE之间有怎样的数量关系．创新组类比善思组的发现，很快证出△ACD≌△BCE，进而得出AD＝BE．请你写出CM，AE，BE之间的数量关系并帮创新组完成后续的证明过程．问题情境：如图1，在数学活动课上，老师让同学们画了等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，并连接CE，BD．操作发现：（1）当等腰Rt△ADE绕点A旋转，如图2，勤奋小组发现了：①线段CE与线段BD之间的数量关系是．②直线CE与直线BD之间的位置关系是．类比思考：（2）智慧小组在此基础上进行了深入思考，如图3，若△ABC与△ADE都为直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，且AC＝2AB，AE＝2AD，请你写出CE与BD的数量关系和位置关系，并加以证明．拓展应用：（3）创新小组在（2）的基础上，又作了进一步拓展研究，当点E在直线AB 上方时，若DE∥AB，且AB＝，AD＝1，其他条件不变，试求出线段CE的长．（直接写出结论）问题情境：在综合实践课上，李老师让同学们根据如下问题情境，写出两个数学结论：如图（1），正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形OEFG的一个顶点（正方形OEFG的边长足够长），将正方形OEFG绕点O做旋转实验，OE与BC交于点M，OG与DC交于点N．“兴趣小组”写出的两个数学结论是：①S△OMC+S△ONC＝S正方形ABCD；②BM2+CM2＝2OM2．问题解决：（1）请你证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性．类比探究：（2）解决完“兴趣小组”的两个问题后，老师让同学们继续探究，再提出新的问题；“智慧小组“提出的问题是：如图（2），将正方形OEFG在图（1）的基础上旋转一定的角度，当OE与CB的延长线交于点M，OG与DC的延长线交于点N，则“兴趣小组”所写的两个结论是否仍然成立？请说明理由．【中考压轴题专题突破48】综合实践与创新问题（4）参考答案与试题解析1．解：（1）①依据1：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）．依据2：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高互相重合（或等腰三角形的“三线合一”）．②答：点A在线段GF的垂直平分线上．理由：由问题情景知，AM⊥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴DE∥FG，∴点A在线段GF的垂直平分线上．（2）证明：过点G作GH⊥BC于点H，∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝∠GHC＝90°，∴∠BCE+∠BEC＝90°．∵四边形CEFG为正方形，∴CG＝CE，∠GCE＝90°，∴∠BCE+∠BCG＝90°．∴∠BEC＝∠BCG．∴△GHC≌△CBE．∴HC＝BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC．∵AD＝2AB，BE＝AB，∴BC＝2BE＝2HC，∴HC＝BH．∴GH垂直平分BC．∴点G在BC的垂直平分线上．（3）答：点F在BC边的垂直平分线上（或点F在AD边的垂直平分线上）．证法一：过点F作FM⊥BC于点M，过点E作EN⊥FM于点N．∴∠BMN＝∠ENM＝∠ENF＝90°．∵四边形ABCD是矩形，点E在AB的延长线上，∴∠CBE＝∠ABC＝90°，∴四边形BENM为矩形．∴BM＝EN，∠BEN＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∵四边形CEFG为正方形，∴EF＝EC，∠CEF＝90°．∴∠2+∠3＝90°．∴∠1＝∠3．∵∠CBE＝∠ENF＝90°，∴△ENF≌△EBC．∴NE＝BE．∴BM＝BE．∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC．∵AD＝2AB，AB＝BE．∴BC＝2BM．∴BM＝MC．∴FM垂直平分BC．∴点F在BC边的垂直平分线上．2．（1）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的．∴DE＝AC＝AF，∠BAF＝α，∠DBE＝∠ABC＝α，∠DEB＝∠C＝α，∴∠DEB＝∠BAF，∴DE∥AF，∵DE＝AF，∴四边形AFDE是平行四边形，故答案为：平行四边形；（2）证明：∵△DBE是由△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的，△AFG是由△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，∴∠DBA＝∠F AB＝90°，DB＝AB＝AF，∴∠DBA+∠F AB＝180°，∴DB∥AF，∵DB＝AF，∴四边形DBAF是平行四边形，∵∠DBA＝90°∴平行四边形DBAF是正方形．（3）四边形AEDG是平行四边形．证明：∵四边形ABDF是正方形，∴∠DF A＝∠DBA＝90°，AB＝DF又∵∠DBE＝∠AFG＝α，∴∠EBA＝∠GFD．在△ABE和△DFG中，∴△ABE≌△DFG，∴AE＝DG，又∵DE＝AG＝AB，∴四边形DEAG是平行四边形．3．解：（1）如图（2）对图形进行角标注，由题意可得：∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，AC＝AC′，∴AC′∥EC，AC∥C′E，∴四边形ACEC′是平行四边形．∵AC＝AC′，∴四边形ACEC′的形状是菱形；（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，由旋转得：AC′＝AC，则∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，∴BC∥DC′．又∵BC＝DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形．∵AE∥BC，∠CEA＝90°，∵∠BCC′＝90°＝180°﹣∠CEA＝90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）如图（3），过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA＝BC，∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，在Rt△BCF中，BF＝＝12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴＝，即＝，解得：EC＝，∵AC＝AC′，AE⊥CC′，∴CC′＝2CE＝2×＝，当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a＝C′C﹣13＝﹣13＝，②点C″在C′C的延长线上，a＝C′C+13＝+13＝，综上所述：a的值为：或．4．（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（2）解：∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠CDA＝120°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB＝∠CDA＝120°，∴∠AEB＝∠CEB﹣∠CEA＝60°，故答案为：60；（3）解：∵∠CDE＝∠AEB＝60°，∴CD∥BE，故答案为：CD∥BE；（4）解：AE＝BE+2CM，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME，∵∠DCE＝90°，DM＝ME，∴DE＝2CM，∴∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．5．解：（1）如图2中，延长BD交AC于点O，交EC于H．∵AE＝AD，AC＝AB，∠EAD＝∠CAB＝90°，∴∠EAC＝∠DAB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD，∠ECA＝∠ABD，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠COH，∴∠ECA+∠COH＝90°，∴∠CHO＝90°，∴BD⊥EC，故答案为EC＝BD，BD⊥EC．（2）结论：CE＝2BD，CE⊥BD．理由：如图3中，延长BD交AC于点O，交EC于点H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AC＝2AB，AE＝2AD，∴＝＝，∴△ABD∽△ACE，∴＝＝，∴CE＝2BD，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠COH，∴∠ECA+∠COH＝90°，∴∠CHO＝90°，∴BD⊥EC．（3）如图4中，当DE∥AB时，设DE交AC于H，易证AC⊥DE．∵AE＝2AD，AD＝1，∴AE＝2，DE＝，AH＝，EH＝，∵AC＝2AB，AB＝，∴CH＝AC﹣AH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝＝4．6．解：（1）①∵正方形ABCD的对角线相交于O，∴S△BOC＝S正方形ABCD，OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBM＝∠OCN，∵四边形OEFG是正方形，∴∠MON＝90°，∴∠BOC﹣∠MOC＝∠MON﹣∠MOC，∴∠BOM＝∠COM，∴△BOM≌△CON，∴S△BOM＝S△CON，∴S△OMC+S△ONC＝S△OMC+S△BOM＝S正方形ABCD；②由①知，△BOM≌△CON，∴OM＝ON，BM＝CN，在Rt△MCN中，MN2＝CM2+CN2＝CM2+BM2，在Rt△MON中，MN2＝OM2+ON2＝2OM2，∴BM2+CM2＝2OM2；（2）结论①不成立，理由：∵正方形ABCD的对角线相交于O，∴S△BOC＝S正方形ABCD，OB＝BD，OC＝AC，AC＝BD，AC⊥BD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBM＝∠OCN＝135°，∵四边形OEFG是正方形，∴∠MON＝90°，∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON，∴S△BOM＝S△CON，∴S△OMC﹣S△BOM＝S△OMC﹣S△CON＝S△BOC＝S正方形ABCD，∴结论①不成立；结论②成立，理由：如图（2）连接MN，∵△BOM≌△CON，∴OM＝ON，BM＝CN，在Rt△MCN中，MN2＝CM2+CN2＝CM2+BM2，在Rt△MON中，MN2＝OM2+ON2＝2OM2，∴BM2+CM2＝2OM2，∴结论②成立．。