2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题01：动点问题25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD的速度运动，在折线DE－EB上以1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．（2）当点N落在AB边上时，求t的值．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P 在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．【答案】解：（1）t－2。
（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC，即t－2=2，t=4。
②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．∵DE=1 2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。
∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。
∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=203。
综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=203。
（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：①当2＜t ＜4时，如图（3）a 所示。
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t ，AQ=AC-CQ=2+t ，AM=AQ-MQ=t 。
∵MN ∥BC ，∴△AFM ∽△ABC 。
∴FM ：BC = AM ：AC=1：2，即FM ：AM=BC ：AC=1：2。
∴FM=12AM=12t ． ∴AMF AQPD 11S S S DP AQ PQ AM FM 22∆=-=+⋅-⋅梯形（） 21111 [t 22t ]2t t t 2t 2224=-++⨯-⋅=-+（）（） 。
②当203＜t ＜8时，如图（3）b 所示。
PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t ，PB=BE-PE=8-t ，∴FM=12AM=6-12t ，PG=2PB=16-2t ， ∴AMF AQPD 11S S S PG AC PC AM FM 22∆=-=+⋅-⋅梯形（） 21115[162t 8]t 412t 6t t 22t 842224=-+⨯---⋅-=-+-（）（）（）（）。
综上所述，S 与t 的关系式为：221t 2t(2t 4)4S 520t 22t 84(t 8)43<<<<⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+-⎪⎩。
（4）在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围是：t=143或t=5或6≤t≤8。
【考点】动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯形和三角形的面积。
【分析】（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=4cm ，∴由勾股定理得AB=cm 。
∵D 为边AB 的中点，∴AD=cm 。
又∵点P 在ADcm/s 的速度运动，∴点P 在AD 上运动的时间为2s 。
∴当点P 在线段DE 上运动时，在线段DP 上的运动的时间为t －2s 。
又∵点P 在DE 上以1cm/s 的速度运动，∴线段DP 的长为t －2 cm 。
（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示，利用运动线段之间的数量关系求出时间t 的值。
（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示，分别用时间t 表示各相关运动线段的长度，然后利用AMF AQPD S S S ∆=-梯形求出面积S 的表达式。
（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、点P 的运动过程：依题意，点H 与点P 的运动分为两个阶段，如下图所示：①当4＜t ＜6时，此时点P 在线段DE 上运动，如图（4）a 所示。
此阶段点P 运动时间为2s ，因此点H 运动距离为2.5×2=5cm ，而MN=2，则此阶段中，点H 将有两次机会落在线段CD 上：第一次：此时点H 由M→H 运动时间为（t －4）s ，运动距离MH=2.5（t －4），∴NH=2－MH=12－2.5t 。
又DP=t-2，DN=DP －2=t －4，由DN=2NH 得到：t －4=2（12－2.5t ），解得t=143。
第二次：此时点H 由N→H 运动时间为t －4－22.5=（t －4.8）s ，运动距离NH=2.5（t －4.8）=2.5t －12，又DP=t-2，DN=DP －2=t －4，由DN=2NH 得到：t －4=2（2.5t －12），解得t=5。
②当6≤t≤8时，此时点P 在线段EB 上运动，如图（4）b 所示。
由图可知，在此阶段，始终有MH=12MC ，即MN 与CD 的交点始终为线段MN 的中点，即点H 。
综上所述，在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围是：t=143或t=5或6≤t≤8。
26. （2012黑龙江哈尔滨10分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，四边形ABCO 是平行四边形，直线y=－x+m 经过点C ，交x 轴于点D ．（1）求m的值；（2）点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，0c，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式(直接写出自变量t的取值范围)；（3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．【答案】解：（1）如图，过点C作CK⊥x轴于K，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，∴A（－2，0）B（0，4）。
∴OA=2，OB=4。
∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA=2 。
又∵四边形BOKC是矩形，∴OK=BC=2，CK=OB=4。
∴C（2，4）。
将C（2，4）代入y=－x+m得，4=－2+m，解得m=6。
（2）如图，延长DC交y轴于N，分别过点E，G作x轴的垂线垂足分别是R，Q，则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形。
∴ER=PO=CQ=1。
∵ER OBtan BAOAR OA∠==，即t4AR2=，∴AR=12t。
∵y=－x+6交x轴和y轴于D，N，∴OD=ON=6。
∴∠ODN=45°。
∵GQtan ODNQD∠=，∴DQ=t。
又∵AD=AO+OD=2+6=8，∴EG=RQ=8－12t－t=8－32t。
∴d=－32t+8（0＜t＜4）。
（3）如图，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB∥OC。
∴∠ABO=∠BOC。
∵BP=4－t，∴EP1 tan ABO tan BOCBP2∠==∠=。
∴EP=t42 -。
由（2）d=－32t+8，∴PG=d－EP=6－t。
∵以OG为直径的圆经过点M，∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO。
∴∠BGP=∠BOC。
∴BP1tan BGP tan BOCPG2∠==∠=。
∴4t16t2-=-，解得t=2。
∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，∴△BHF∽△BFO。
∴BH BFBF BO=，即BF2=BH?BO。
∵OP=2，∴PF=1，BP=2。
∴BF==∴2=BH×4。
∴BH=54。
∴HO=4－511=44。
∴H（0，114）。
【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。
【分析】（1）根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CK⊥x轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值。
（2）延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用∠BAO的正切值求出AR的长度，利用∠ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解。
（3）根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC，再根据平行线内错角相等求出∠ABO=∠BOC，用t表示出BP，再根据∠ABO与∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF和△BFO相似，根据相似三角形对应边成比例可得BH BFBF BO=，再根据t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标。
27. （2012湖南永州10分）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q （1，3）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．（1）请直接写出AB 边的长和BC边上的高AH的长；（2）求∠B的度数；（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．【答案】解：（1）AB=2；AH=3。
（2）在Rt△ABH中，AH=3，BH=1，tan∠B=3，∴∠B=60°。
（3）①当∠APB为钝角时，此时可得x＜1；②当∠BAP为钝角时，过点A作AP⊥AB交BC于点P。
则AB2BP==41cos B2=∠，∴当4＜x≤6时，∠BAP为钝角。
综上所述，当x＜1或4＜x≤6时，△ABP为钝角三角形。
【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】（1）当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2；，图乙函数图象的最低点的y 值是AH的值，故AH=3。