通分是解决分式加减的基础,要解决好分式的运算,就必须掌握好分式的
通分问题。

通分时常常是先找出最简公分母,将其变为同分母分式,然后
再加减。

可在实际运算时,有时找最简公分母十分麻烦,或者在进行通分时,将面临着复杂、繁烦的计算,甚至走进“死胡同”,因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法,这样能使问题变得简单,即化难为易。

现介绍几
种常用的通分技巧,供同学们在学习时合理选用。

一、分组通分
例1 计算-+-。

分析经观察发现,分母的结构有如下特点:a+2与a-2相乘、a+1与a-1相乘可分别构成平方差,故本题可先合理搭配,采用分组通分的方法来解。

解原式=-+-=+=。

点评根据分母的结构特点合理分组后再进行通分,可简化运算。

二、逐步通分
例2 计算:+++。

分析四个分式分母迥然不同,如果先找最简公分母再通分,结果只能
劳而无功。

若把前两个分式通分化简,将结果再与第三个分式通分,依次
类推,逐步通分,可使问题得到解决。

解原式=++=++
=+=。

三、整体通分
例3 计算:x+y+。

分析一个整式与分式相加减,将整式当做一个整体,看做分母为1的
分式,再通分。

解原式=(x+y)+=+
= + =。

四、分解因式,约分后通分
例4 计算-。

分析观察发现各分式的分子、分母均可分解因式,故应先分解因式,约分后再通分。

解原式=- =-==。

点评当分式的分子、分母可分解因式时,一般应先分解因式,进行约分后再通分。

五、改变排序,一次通分
例5 计算++。

分析这是轮换式问题,对这样的问题可通过适当改变字母的排列顺序来找到公分母,然后再进行通分。

解原式=++
=++
==0。

点评面对轮换式的问题,采用这种先行变序、再行通分的方法,常常一次通分就能成功解题。

六、常量代换,自然通分
例6 设abc=1,试求++的值。

分析根据分式的结构特点和已知条件,运用分式的基本性质和常量
代换的方法,本题可获巧解。

解原式=++
=++==1。

点评本题的解法很巧妙,它是在认真分析题目特点的基础上,利用分式的基本性质和常量代换,使其由“山重水复”变为“柳暗花明”的。

七、裂项相消,拆项通分
例7 化简:+++…+。

分析当分式比较复杂,而且按常规方法通分十分艰难时,就要看看题中是否隐含着某些规律。

当每一个分式的分母是两个因数之积,而分子又是一个定值时,可将每一个分式先拆成两项之差,前后相消后再通分。

解原式=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-=。

点评合理、灵活地运用各种变形技巧,能使枯燥乏味、繁杂冗长的分式运算变得简单明了。

而要做到这一点,就必须细心观察和认真分析题目中各分式的特点。