悬臂梁固有频率的计算
令狐采学
试求在0x =处固定、x l =处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。

解：法一：欧拉伯努利梁理论
悬臂梁的运动微分方程为：4242
(,)(,)
+0w x t w x t EI A x t ρ∂∂=∂∂；
悬臂梁的边界条件为：
2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI )0(4)x l x l
dw w w
w x x dx x x x ==∂∂∂======∂∂∂，；
该偏微分方程的自由振动解为(x,t)W(x)T(t)w =，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到
1234(x)C cos sin cosh sinh W x C x C x C x ββββ=+++，
(t)Acos t Bsin t T w w =+；其中2
4
A EI
ρωβ=
将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C 0C +=，24C 0C +=；进一步整理可得12(x)C (cos cosh )(sin sinh )W x x C x x ββββ=-+-；再将边界条件（3）、（4）带入可得
12(cos cosh )C (sin sinh )0C l l l l ββββ-+-+=；
12(sin sinh )C (cos cosh )0C l l l l ββββ--+-+=要求12C C 和有非零解，则
它们的系数行列式必为零，即
(cos cosh )(sin sinh )
=0(sin sinh )
(cos cosh )
l l l l l l l l ββββββββ-+-+--+-+
所以得到频率方程为：cos()cosh()1n
n
l l ββ=-；该方程的根n
l β表示振
动系统的固有频率：1
2
24()(),1,2,...n n EI w l n Al
βρ==满足上式中的各n l
β（1,2,...n =）的值在书P443表8.4中给出，现罗列如下：
123451.875104 4.6940917.85475710.99554114.1372
l l l l l βββββ=====，，，，；若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh (
)sin sinh n n n n n n l l
C C l l
ββββ+=-+；因此
1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...
sin sinh n n n n n n n n n n l l
W n l l ββββββββ⎡⎤+=---=⎢⎥+⎣⎦
由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：
1112
2222
2123444
1.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Al
ωωωρρρ===，，， 11
2
2
224544
10.995541()14.1372()EI EI Al Al
ωωρρ==，； 法二、铁摩辛柯梁梁理论 1.悬臂梁的自由振动微分方程：
4242442224(,)(,)(1)0w x t w x t E w I w
EI A I kG kG x t x t t ρρρ∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂；
边界条件：(0)(0)0w x x φ====（1），0x l
x l
w
x
x
φ
φ
==∂∂-=
=∂∂（2）；
设方程的通解为：(,)Csin cos n n x w x t w t l
π=；易知边界条件（1）满
足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：
4
222222244
42224
r ()(1)0n
n
n r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=；其中22I EI r A A
αρ=
=，；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的
频率方程简化为22
2n n w l
απ=；当n=1,2,3,4,5时可分别求
得固有频率为：
12345w w w w w =====
多自由度系统频率的计算方法
等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量
12345m
5
m m m m m =====。

1.邓克莱法 邓克莱公式为：
1112225552
11
a a a m m m ω≈++
+，其中
33333
11223344558964,,,,3753751253753l l l l l a a a a a EI EI EI EI EI
=====
，
12345m
5
m m m m m =====；将其代入上式可求得系统的基频为：1
21
4
2.887()EI w Al
ρ，此基频比用伯努利欧拉梁求得的一阶固有频
率1
2
2141.875104()EI Al
ωρ=偏小，误差为
17.42%，与邓克莱法的推导
预期相符。

2.瑞利法
系统的质量矩阵、刚度矩阵和柔度矩阵分别为
取静变形曲线为假设阵型，设(40141279436600)T
A =有
32
3
1122000EI 28401503l m 649418m,,75EI
T
T
T A MA A KA A M MA l ==∆= 所以44
8.648.57(A)=,(A)T T T T A KA EI A MA EI R R A MA l A M MA l ρρI II
===∆，此基频比用伯
努利欧拉梁求得的一阶固有频率1
2
2141.875104()EI Al
ωρ=偏大，误差
为15.23%，与瑞利法的推导预期相符。

3.里茨法
系统的质量矩阵和刚度矩阵由上面给出，设阵型为
12(12345)(13579)T T ψψ==，；
则可求出**,M K 分别为
将**,M K 代入
**2**
()0K w M A -=得**2*0K w M -=；可以求得：
*1w ==*
2
w ==*(1)*(2)11A ,A 0.5780.29⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
；
所以系统前两阶主阵型的近似为
4.雅克比法
动力矩阵为333333
33333
33333
3
3333
l m l m 4l m
11l m 7l m 375EI 150EI 375EI 750EI 375EI l m
8l m 14l m 4l m 26l m 150EI 375EI 375EI 75EI 375EI 4l m 14l m
9l m 27l m 18l m 375EI 375EI 125EI 250EI 125EI 11l m 4l m 27l m 64l m 88l m 750EI 75EI 250EI 375EI 375EI 7l m 2375EI D M =∆=3
3336l m 18l m 88l m l m 375EI 125EI
375EI 3EI ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
，由雅可比法求解其
特征值和特征向量为：其固有频率
2.93 0 0 0 0 0 18.70 0 0 0 0 0 52.7 0 0 0 0 0 100 0
0 0 0 0 158.11⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
0.0459 0.1669 0.3387 0.5393 0.7513 0.2290 0.5589 0.5802 0.1677 -0.5201 -0.4879 -0.5446 0.2548 0.5306 -0.3448 -0.6481 0.1332 0.4650 -0.5539 0.19T
79 0.5361 -0.5878 0.5172 -0.3046 0.0833⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。