重庆大学本科生数学模型作业报告人猫鸡米渡河问题的数学模型
组员：唐新
赵广志
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指导教师：黄光辉
人猫鸡米渡河问题的数学模型
一、摘要：
本文主要对数学建模基础模型跟“商人过河”类似简单问题：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，建立数学模型，并使渡河次数尽量地少。

模仿“商人过河”的模型设计出新的数学模型。

二、问题的重述
人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。

试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

关键词：人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，船需人划，穷举法
三、模型假设
不考虑外界其他影响，只考虑问题所述的条件:
1、船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一
2、当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米
四、符号说明
五、问题分析
安全过河问题可以看着是一个多部决策的过程。

每作出一步决策，都必须保证船、人、猫、鸡、米能满足题设条件。

否则，不仅难以实现过河的最优化，而且还容易出现事物的不安全性。

因此，在保证安全的前提下，即猫、鸡在一起时，人要在场，鸡、米在一起时，人也要在场，用状态变量s 表示某一岸的状况，决策变量d 表示是乘车方案，我们容易得到s 和d 的关系，其中问题的转化要在允许变化范围内，确定每一步的决策关系，从而达到渡河的最优目标。

六、模型建立与求解
Ⅰ. 模型的建立：
人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记
0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

记s 的反状态为()4321'1,1,1,1x x x x s ----=，允许状态集合为
()()()()(){}0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1,1,1,1=S （1） 以及他们的5个反状态。

决策为乘船方案，记作()4321,,,u u u u d =，当i 在船上时记1=i u ，否则记
0=i u ，允许决策集合为
()()()(){}0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1=D （2）
记第k 次渡河前此岸的状态为k s ，第k 次渡河的决策为k d ，则状态转移律为
()k
d k k s k s 11-+=+， （3）
设计安全过河方案归结为求决策序列,,,,21D d d d n ∈ ，使状态S s k ∈按状态转移律由初始状态()1,1,1,11=s 经n 步达到()0,0,0,01=+n s 。

Ⅱ. 模型的求解：
从而我们得到一个可行的方案如下：
因此，该问题的最优方案是：
1、人先带鸡过河，然后人再回来，把米带过河，然后把鸡运回河岸，人再把猫带过河，最后人回来把鸡带过去。

2、人先带鸡过河，然后人再回来，把猫带过河，然后把鸡运回河岸，人再把米带过河，最后人回来把鸡带过去。

七、模型评价与推广
（Ⅰ）优点：
1、模型简单，切合实际，易于理解；
2、建立了合理、科学的状态转移的模型。

3、结合实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性；
（Ⅱ）缺点：
由于问题的求解没有使用LINGO或MATLAB软件，当状态和决策过多时，采用上述方法求解显得繁琐，容易出错。

（Ⅲ）推广：
正如课本上的商人们安全过河问题，当商人和随从人数增加或小船的容量加大时，靠逻辑思考就有些困难了，而适当地设置状态和决策，确定状态转移率，建立多步决策模型，仍可方便有效地求解此类型问题。

七、参考文献：
【1】姜启源，谢金星，叶俊《数学模型》，第四版。

高等教育出版社【2】赵静，但琦《数学建模与数学实验》，高等教育出版社
【3】姜启源，谢金星，邢文训，张立平《大学数学实验》，第二版，清华大学出版社
【4】杨启帆，边馥萍. 数学建模. 浙江大学出版社
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