数学建模竞赛论文论文题目：贫困生等级认定问题2011 年 5 月 2 日贫困生等级认定问题摘要随着我国高等教育大众化的逐步实现,高校生源结构发生了变化,贫困学生数量急剧增加,解决就学问题已成为社会性问题。
采取合理的方法对贫困生进行准确的认定是更好资助贫困大学生的关键，而当前的贫困生认定以定性为主，无具体统一的指标体系和量化标准。
本文通过结合模糊数学思想和层次分析思想，综合评价贫困因素,实现了对高校贫困生进行认定的定量分析与定性分析。
针对问题一，本文首先应用模糊数学统计法的思想，建立一套贫困生认定的评判标准，统一量化申请者的相关信息，即建立模糊矩阵，从而降低主观定性判断的影响，使评定结果趋于合理公平。
再者，考虑到各种评定因素对造成不同等级贫困的影响不同，应用层次分析法将各评定指标设置相应的权重，建立模糊集，使评定结果更加科学。
综合以上两个方面，用模糊层次分析法构建了贫困生等级认定模型，将定性与定量结合应用于贫困生认定中，并通过实例进行了验证。
针对问题二，首先对申请者的信息进行量化，即根据所建的评判标准为每个影响因素赋予分值，将每一位申请者的家庭经济情况数值化，得到体现各年级申请者的贫困情况的模糊矩阵。
将该矩阵代入贫困生等级认定模型的表达式中，得到判定贫困生等级标准值Z。
将Z进行大小排序，再依据题目要求从各年级选出25%的名额，将选出的这些名额按题中A、B、C等级的比例要求对其进行等级划分，由此便得到各年级申请者贫困等级认定结果如下表所示：关键词：贫困生助学金等级认定模糊统计法层次分析法§1 问题的重述一、背景知识1、国家助学资助的政策背景2010年12月，温家宝总理召开国务院常务会议决定扩大大中专学校家庭困难学生资助范围，提高资助标准，国家助学资助标准从原来生均2000提高到3000。
我省约17万名高校贫困学子将受益。
2、贫困生认定工作概述根据学校“家庭经济困难学生认定工作实施办法”（东华理工发【2008】27号），每年9月下旬，贫困生认定工作在全校启动。
该项工作由学生资助管理中心负责，具体由各学院的认定工作领导（工作）小组进行认定。
国家助学金分三个档次，各学院根据学生家庭经济状况分级发放。
3、贫困生等级认定工作所面临的问题纵观众多贫困生认定的研究文献和高校的实际操作，大多数对贫困生评定缺乏科学的量化指标体系，当前我国许多高校对贫困生认定还局限在传统的、凭经验、主观式的定性判断上，无具体的量化标准，导致高校贫困生评定工作含混不清，指导性、实践性不强，可比性和可行性不高，由此导致了助学金分配不公平。
二、具体数据1、各等级贫困生所占比例数据A等（一般贫困，约占贫困生的30%）；B等（比较贫困，约占贫困生的50%）；C等（特别贫困，约占贫困生的20%）。
认定比例控制在全部年级学生总人数的25%以内。
2、各年级总人数表1 各年级的总人数汇总表3、所给各年级家庭经济困难情况表（见附件1）三、要解决的问题1、问题一：参考学生手册相关细则，用数学建模的方法给出一种定量的，且易于实施的贫困生等级评定方法，使得评定结果相对公平。
2、问题二：根据附件1所给各年级家庭经济困难情况表，对申请者进行贫困等级认定。
§2问题的具体分析一、相关资料的介绍1、贫困生的定义教育部文件对贫困大学生的解释是指在国家招收的普通高校本专科学生中,由于家庭经济困难,支付在校期间的学习和生活基本费用很困难,或无力支付的学生。
也有学者在进行界定时，进行了更加细致的划分，“所谓贫困生，是指国家招收的普通高校本专科学生在校期间基本生活费用难以达到学校所在地最低伙食标准,目前无力缴纳学费及购置必要学习用品,日常生活没有经济保障的大学生”。
另外，在进行划分时，一般将贫困生分为特困生、贫困生和一般贫困生，以此为基础来进行相应的资助和管理。
2、东华理工大学经济困难生认定标准(见附录一)二、对问题的具体分析1、问题一的分析：问题要求参考学生手册相关细则，给出一种定量的，且易于实施的贫困生等级评定方法，使得评定结果相对公平。
经分析，本文通过求解以下两个问题来得出评定方法：⑴求解影响因素权重对学生的贫困程度进行评价，是一个复杂、系统的过程。
它涉及的内容较多，需要考虑的因素也较广泛，具有多层次、多指标的特点。
故首先用层次分析求解各影响因素的权重，从一个整体的角度对申请者的贫困影响因素进行综合评价，为评定结果更加合理做铺垫。
⑵定性化的指标定量化贫困生认定涉及到很多定性化的指标，通过模糊数学的原理将这些定性化的指标定量化后再结合权重加以衡量，具体实现方法是先建立评判标准，即根据学生守则相关条例确定各个主要影响因素及其所占的分值，得到影响因素的评判标准（见附录）。
从而能够比较科学合理的评定学生的贫困度，准确的界定出学生的贫困等级，进而采取有针对性的资助。
2、问题二的分析：问题要求根据附件1所给各年级申请者家庭经济困难情况表，对其进行贫困等级认定。
问题2是对问题1所得模型的应用，并可同时检验该模型的可行性及准确性。
⑴各年级分配名额的确定根据附件1及题目中的具体数据，假设有足够的钱资助每个年级25%的学生，得到各年级总贫困名额：⑵贫困生等级确定要确定附件1中所给的申请者贫困等级，首先应依据评判标准对附件1中贫困生申请者的信息进行量化，得到各年级申请者贫困因素的分值（附件1），再结合权重大小利用matlab编程计算出每位申请者的得分情况，进行分值排序。
又由于A、B、C等级的贫困生分别约占贫困生的30%、50%、20%，结合该比例数据、各年级总贫困生名额以及分值排序情况便可确定各年级的贫困生的贫困等级。
§3模型假设1、假设申请者的信息真实可靠；2、假设学校认定标准短时间内不会发生变化；3、假设申请者的信息，每年学校都会及时更新；4、假设学校所在地生活消费水平短时间基本保持不变；5、假设有足够的钱资助占每个年级学生总数25%的学生；6、假设只对申请者所填写的信息进行分析，忽略其他未填写的影响因素。
§4定义与符号说明§5模型的建立与求解一、准备工作1、评判标准的设置依据学生守册中的贫困生等级评定标准，将其中定性化贫困因素赋予分值，本文认为影响贫困等级认定的因素为：月生活费、双亲因素、健康状况、地域因素、家庭经济收入、双亲工作情况和家庭遭遇突发变故。
得到如下量化的评判标准：二、问题1的高校贫困生等级认定模型1、模型1一般数学表达式：Z U n W()*T该表达式的意义：Z表示判定贫困生等级标准值；W为层次分析求解的影响因素权重；U(n)表示编号为n的申报者填写的信息集。
根据评判标准可知，影响评判的因素有七大类即为A、B、C、D、E、F、G。
由此建立影响贫困学生等级评判的模糊集。
设Ai、Bi、Ci、Di、Ei、Fi、Gi分别表示该生所具有的贫困生认定的基本信息。
所以编号为n的申报者填写的信息可以转化为由统一认定标准分值表示的模糊矩阵：U(n)=[Ai Bi Ci Di Ei Fi Gi] i=1、2、3、4、5由层次分析求解影响因素的权重可得：W =[0.1682, 0.0669, 0.0456, 0.0456, 0.0655, 0.2864, 0.3217]故可求解出Z 。
2、模型的建立过程根据学校“家庭经济困难学生认定工作实施办法”（东华理工发【2008】27号）相关准则，对于贫困生等级认定问题可以得到以下层次结构图：依据层次结构图，采用层次分析法进行分析。
定义:第一层次权重集为A =(1b ,2b ,3b ,4b ,5b ,6b ,7b ) 第二层次权重集为B 1=(11C ,12C ,13C ) B 2=(21C ,22C ,23C )，B 3=(31C ,32C ,33C ) B 4=(41C ,42C ,43C )，B 5=(51C ,52C ,53C )B 6=(61C ,62C ,63C )，B 7=(71C ,72C ,73C )由上层次结构图可知贫困生的判定是涉及到多方面因素的决策问题，且这些因素不易定量地测量，如果单凭经验主观判定，多因素判断是往往是不全面且不准确的。
故将各因素两两相互对比，当比较两个可能具有不同性质的因素对于一个上层因素的影响时，人们心中通常有5种明显等级来对成对的数据进行比较，即采取Saaty 的1-9标度的相对尺度进行对比：表3 A.L.Saaty 的1-9标度表:标度 含义1 表示两个因素相比，具有相同重要性 3 表示两个因素相比，前者比后者稍重要 5 表示两个因素相比，前者比后者明显重要 7 表示两个因素相比，前者比后者强烈重要 9 表示两因素相比，前者比后者极端重要 2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值两两比较的矩阵值，如下表：表5方案层C对准则层B中各因素要求的比值表（1）层次分析求解影响因素权重①特征向量w的求解根据以上所得的对比矩阵，求出其最大特征根m ax所对应的特征向量w。
方程如下：max Pw w λ=，{,1,2,3,4,5,6,7}P A B B B B B B B ⊆再对所求特征向量w 经归一化后即为各评价因素的重要程度，即准则层B 中各个影响因素的权重分配。
运用matlab 程序（见附录二）求解可得层次总排学金之后，其次才是认定B 等助学金，最后再考虑A 等助学金的认定。
②判断矩阵的一致性检验以上得到的权重分配是否合理需要对判断矩阵进行一致性检验。
检验步骤如下：(i)计算一致性指标CI1max --=n nCI λ(ii)查找相应的平均随机一致性指标RI ，对应n =1,…,9，Saaty 给出了RI 的值RICICR =当CR <0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
运用matlab 程序（见附录二）对以上判断矩阵进行一致性检验求致性检验是可以接受的，即所构造的判断矩阵是有效的。
三、问题2的求解首先依据贫困因素量化标准，对附件1中贫困生申请者的信息进行量化得到U(n)，再将该数据代入所得模型的数学表达式中，运用matlab 程序（见附录三）求解Z 值并对其从大到小进行排序。
由要求贫困生认定比例控制在全部年级学生总人数的25%以内，所以各年级待分配贫困生名额如下表所示：由于A 、B 、C 等级的贫困生分别约占贫困生的30%、50%、20%，令年级i 贫困生名额总人数为i M ，则Z 值排序的前0.25i M 位申请者则为计划要资助的贫困生。
然后，从第一位到0.075i M 认定为C 等助学金获得者，从第（0.075i M -1）位到第0.2i M 位认定为B 等助学金获得者，从（0.2i M -1）位到第0.25i M 位认定为A 等助学金。
求解结果如下表：（详表见附录五）各年级贫困生名额等级分配表§6误差分析本文在运用程序求解模型时，由于进行认定贫困生的名额不能取小数，所以在程序编写时规定小数部分不足0.5就向下取整，超过0.5的向上取整，然后结合题目要求，即贫困生认定比例控制在全部年级学生总人数的25%以内以及程序运行结果，运用matlab 编程（附录四）画图出分析图：年级名额由上图我们能够轻易发现，模型求解得到的贫困生资助名额在年级总人数的25%上下取整之间，说明程序求解得到的值与题目要求值相差很小。