若结论是
f '' 0
1.在不同区间用
罗尔找到 1,2
2.在 1,2 用一
次罗尔
柯西中值 定理
1.同一字母同一 侧，分别积分， 找原函数 F,G 2.对 F,G 用柯西
泰勒定理
1.在 题 目 出 现 的
某点泰勒展开
2.带入其他点，寻
找与结论之间的
1
关系（有时会结合
介值定理）
1.闭区间上连续函数定理 ① ② ③ ④ 2.微分中值定理 ①
（1） 存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得 f ' ( ) f ' () 2 .
（2）
存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得
1 f ' ( )
1 f ' ()
2 .
（3） 存在（0，1）内两个不同的点 , ，使得 f ' ( ) f ' () 1 .
f ' ( ) （4） 存在（0，1）内两个不同的点 , 及大于零的常数 ，使得 f ' () （5） 对于任意的正整数 n，存在（0，1）内两个不同的点 , 及常数 0 ，
3
5.若 f (x) 在[0,1] 上可导，且当 x [0,1] 时有 0 f (x) 1，且 f (x) 1，证明：在 (0,1) 内有且仅有一个点 使得 f ( )
6.设 f (x) 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且 f (0) = f (1) =0， f (1 ) =1。试证 2
②
③
④
3.积分中值定理 ① ②
不等式证明思路 构造函数（利用极值） 拉格朗日中值定理 函数凹凸性定义
2
1.若 f (x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 上可导， f (a) f (b) 0 ，证明： R ， (a,b) 使得： f ( ) f ( ) 0
2.设 a,b 0 ，证明： (a,b) ，使得 aeb bea (1 )e (a b)
至少存在一个 (0，1)，使 f ¢(x) =1
7.设 f (x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (0) f (1) 试证存在 和 .满足 0 1，使 f ( ) f () 0 .
8.设 f (x) 在[a,b] 上连续, (a,b) 内可导 (0 a b), f (a) f (b),
第三章 中值定理证明
题目类型
定 理
结论只包含
f , f ',
结论包含
1. f , f ', a,b, , 2. f ', g ', a, b, ,
结论包含 反对幂指三
+ f , f ', g, g',,
结论包含
f ', f '', f ''', a, b,
等式或不等式
罗尔定理
1.移项=0 2.构造函数 常微分方程 （C=F(x)） 不定积分 3.验证 F(a)=F(b) （结合零点/介值 /积分中值）
13.设 f x在-1,1具有三阶连续导数，且 f -1 0，f 1 1, f '0 0, 证明：在 -1,1 至少存在一点 ，使得 f ''' 3
14.设 f x 在 a,b，0 a b 上连续，在 a,b 内可导， 试证 , a,b ，使得 f ' 2 f '
ab
15.设 f x 在 0,1，上连续，在 0,1内可导，且
3.设 f (x) 在 (0,1) 内有二阶导数，且 f (1) 0 ，有 F (x) x2 f (x) 证明：在 (0,1) 内 至少存在一点 ，使得： F( ) 0
4.设 f (x) 在[0，2a]上连续， f (0) f (2a) ，证明在[0,a]上存在 使得 f (a ) f ( ) .
4
证明: , (a, b) 使
f
(
)
ab 2
f
( ).
9. 已知函数 f (x) 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导， 0 a b ，证明存在 , (a, b) ，使 3 2 f / ( ) (a 2 ab b2 ) f / ()
10. 设 f (x) 在[0，1]上连续（0，1）内可导， f (0) 0 ， f (1) 1，试分别证明：
f ' ( ) 使得 f () = n( 1) .
5
11.设
f xLeabharlann 在0,1 上 连 续 ， 且
1 0
f xdx
0
，证明：至少存在一点
，使得
0
f
t dt
f
12.设 f x 在 a,b上连续，在 a,b内可导，且 f 'x 0, 试证 , a,b ，使得
f f
' '
eb b
ea a
e
6
f 1 0,
2
e f x
arctan
xdx
1
,
试证
0,1 ，使得
1 2
arc tan
f
'
1
0
2
7
16.设 f x 在 [a,) 上连续，在 (a,) 内可导，且方程 f x 0 在上有根，又
f a 0 ，证明方程 f x 0 在 a, a f x 内有唯一的实根.
k
17.设函数在 0，1上连续，并且对 0，1任意一点 x 有： 0 f x 1 ,求证：在上必 存在一点 ，使得 f .
18.设函数 f (x) 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导， f (0) 0 ， f (1) 1.证明： (1)在(0,1)内存在 ，使得 f ( ) 1 ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点 ，使得f / ( ) f / () 1
8
拉格朗日 中值定理
一．
1.目 标 是 寻 找 区 间 里某点 C 2.在 两 个 区 间 分 别 用拉格朗日定理,带 入结论，找到确定 C 点的方法（零点或者 介值定理）
1.一柯 2.一拉+一拉 3.一拉+一柯
二． , 没有大小关
系 1.同一字母同一侧， 分别积分，找到 F,G 2.对 F,G 用拉格朗日 定理 3.比 较 跟 结 论 的 关 系