《应用数理统计》复习题第一章 概率知识一、一袋中有5个球，编号1、2、3、4、5. 现从中任取3个，以X 表示所取球的号码的最大值，求X 的概率分布律.解：X 的可能取值为3、4、5，1.0101}3{3533====C C X P ， 3.0103}4{352311====C C C X P ， 6.0106}5{352411====C C C X P ， 故X 的概率分布律为6.03.01.0543kp X .二、设连续型随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<≤=.,0,10,)(其它x Ax x f（1）求常数A ；（2）求X 的分布函数)(x F . 解：（1）由完备性：⎰∞+∞-=1)(dx x f ，有11=⎰Ax , 解得2=A .（2）t d t f x F x⎰∞-=)()(当0≤x 时， 0)(}{)(⎰∞-==≤=xdt t f x X P x F ，当10≤<x 时，202)()(x tdt dt t f x F xx===⎰⎰∞-，当1>x 时，1)(=x F .所以 .1,10,0,1,,0)(2>≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x x F三、设X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它,022,cos )(ππx x C x f ，1、求常数C ；2、均值EX 和方差DX . 解：1、由完备性，C xdx C dx x f 2cos )(122⎰⎰-∞∞-===ππ，21=∴C ；2、0cos 21)(22⎰⎰∞∞--===ππxdx x dx x xf EX ； ⎰⎰⎰∞∞---====22202222214cos cos 21)(ππππxdx x xdx x dx x f x EX ;14)(222-=-=∴πEX EX DX .四、若随机(X ,Y )在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，证明X ,Y 不相互独立. 解：依题意有(X ,Y )的概率密度为221/, 1;(,)0, x y f x y π⎧+≤=⎨⎩其它..故 11, 11()(,)0, 0, X x x f x f x y dy +∞-∞⎧-≤≤-≤≤⎪===⎨⎪⎪⎩⎩⎰其它其它;同理 11()0, Yy f y -≤≤=⎪⎩其它.于是(,)()()X Y f x y f x f y ≠, X 与Y 不相互独立.五、设X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=.,0,10,)(其它x bx a x f ，且已知EX =127求DX . 解：由概率密度的完备性有：1=⎰⎰+=∞+∞-1d )(d )(x bx a x x f =b a 5.0+,且有127=EX =⎰⎰+=∞+∞-10d )(d )(x bx a x x x xf =32ba +, 联立上述两式解得: 1,5.0==b a又=)(2X E 125d )5.0(102=+⎰x x x ,于是 =DX =-22)()(EX X E 2)127(125-14411=.六、1．设随机变量)3,2(~2N X ，)()(C X P C X P >=<，则=C （ A ）.A . 2B . 3C . 9D . 02. 设随机变量),(~2σμN X ，则随σ增大，}|{|σμ<-X P ( C ).(A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定第二章 统计概念1.设n X X X ,,,21 为来自正态总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本,则样本均值∑==ni i X n X 11服从),(2nN σμ分布.2. 设1021,,,X X X 是来自总体)3.0,0(2N 的一个样本，2102221X X X Y +++= , 当C = 9100时，CY 服从自由度为 10 的2χ 分布.3. 设总体),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是取自总体的样本,则∑=-ni iX122~)(1μσ)(2n χ．第三章 参数估计一、 设n X X X ,,,21 是取自总体X 的一个样本，总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其他,010,)(1x x x f θθ，其中0>θ为未知参数.试求θ的矩估计量∧M θ和极大似然估计量∧L θ. 解：1d 11+=⋅=-⎰θθθθx xx EX .用X 代替EX ，令1+=θθX ，解得θ的矩估计量21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∧X XMθ. 设n x x x ,,,21 是取自总体X 的样本观察值，似然函数为()⎪⎩⎪⎨⎧=<<=-=∏其他,0,,2,1,10,)(11n i x xL i n i inθθθ0)(>θL 时，取对数，可得∑=-+=ni i x nL 1ln )1(ln 2ln θθ.∑=+⋅=ni i x n L 1ln 2112d ln d θθθ.令0d ln d =θL ，可得θ的极大似然估计量∧L θ21ln ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=n i i X n . 二、设总体X 服从泊松分布 ,2,1,0,!}{),(===-k e k k X P k λλλπ样本n X X X ,,,21 ，证明未知参数λ的矩估计量和极大似然估计量相同. 解：总体X 服从参数为 λ 的泊松分布，则,,2,1,0,!}{ ===-k e k k X P kλλ λλλ===∑∞=-01!k ke k kEX m .用样本一阶原点矩1A 代替总体均值1m ，得λ的矩估计量为X X n A n i i ===∑=111ˆλ. 设n x x x ,,,21 为相应于样本n X X X ,,,21 的观察值，则似然函数λλλ-=∏=e x L ni i xi1!)(， 对数似然函数 λλλn x x L n i ni ii∑∑==--=11)!ln(ln )(ln ，令0ln =λd Ld ，即 01=-∑=n xni iλ，得λ的极大似然估计值∑===n i i x x n 11ˆλ，所求λ 的极大似然估计量X =λˆ. 可见，未知参数λ的矩估计量和极大似然估计量相同，均为X .三、 设总体X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=,1,0,1,11),(x x xx F ββ其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为来自总体X 的简单随机样本，求β的矩估计量和极大似然估计量.解：（1）X 的密度函数⎩⎨⎧≤>=--,1,0,1,),(1x x x x f βββ总体均值ββββ-==⎰∞+--111dx x x EX ，令-=X EX ，得β的矩估计量为____1ˆXX+=β.（2）当),,2,1(1n i x i =>时，似然函数为：,)(),()(1211--===∏ββββn n ni i x x x x f L令0ln )(ln 1=-=∑=ni i x n d L d βββ，得β的极大似然估计量为∑==ni iXn1ln ˆβ四、1．设321,,X X X 为取自正态总体),(2σμN 的一个简单随机样本，则在总体均值μ的4个无偏估计,525152ˆ3211X X X ++=μ,313131ˆ3212X X X ++=μ3213213161ˆX X X ++=μ, 3214319291ˆX X X ++=μ 中最有效的是2ˆμ . 2. 设总体X 的期望μ和方差02>σ存在，从总体中分别抽取容量为1n 和2n 的两个独立样本，样本均值分别为1X 和2X ，常数a 和b 使得21X b X a T +=是μ的无偏估计量，且方差DT 达到最小，则=a 211n n n +.五、某种零件的重量（单位：千克）服从正态分布),(2σμN ，从中抽得容量为16的样本，其均值,856.4=x 修正方差04.02=s .（1）若,24.0=σ求μ的置信度为95.0的置信区间. （2）若σ未知，求μ的置信度为95.0的置信区间. （已知131.2)15(,96.1975.0975.0==t u ） 解：131.2)15(,96.1,025.02,05.0,16975.0975.0=====t u n αα（1）974.4,738.4975.0975.0=+=-u nx u nx σσ得μ的置信度为95.0的置信区间为)974.4,738.4(. （2）963.4)15(,749.4)15(9725.0975.0=+=-t nsx t n s x 得μ的置信度为95.0的置信区间为)963.4,749.4(.六、某型号钢丝折断力（单位：牛顿）服从正态分布),(2σμN ，随机抽取10根，其折断力的方差7.752*=s ，求2σ置信度为95.0的置信区间.（可能用到的数据：02.19)9(,70.2)9(2975.02025.0==χχ，20.48)10(,3.25)10(2975.02025.0==χχ）. 解： ,02.19)9(,70.2)9(,025.02,05.0,102975.02025.0=====χχααn333.252)9()1(,858.35)9()1(2975.022025.02=-=-χχsn s n ， 所求置信区间为)333.252,858.35(.七、已知某种药片溶解所需的时间X 服从正态分布。

现从中随机地抽取10片，测得溶解时间（单位：min ）为5.3 3.6 5.16.6 4.9 6.5 5.2 3.7 5.4 5.0．求总体方差2σ的90％置信区间（可能用到的数据：307.18)10(295.0=χ，940.3)10(205.0=χ，919.16)9(295.0=χ，325.3)9(205.0=χ）.解：已知总体),(~2σμN X ，样本容量10=n ，由样本观测值计算可得13.5=x ， 956.02=s .由%901=-α即10.0=α，919.16)9()1(295.0295.0==-χχn ， 325.3)9()1(205.0205.0==-χχn ,∴509.0919.16956.09)1()1(2212≈⨯=---n s n αχ,588.2325.3956.09)1()1(222≈⨯=--n s n αχ 所以药片溶解所需时间的方差2σ的90％置信区间为)588.2,509.0(第四章 假设检验1、假设检验中，0H 为原假设，则 ( A )为犯第一类错误.(A) 0H 为真，拒绝0H ； (B) 0H 不真，接受0H ； (C) 0H 为真，接受0H ； (D) 0H 不真，拒绝0H2、 某种熔丝的熔断时间X 服从正态分布,且在通常情况下642=σ.现从这批熔丝中随机抽取10根，测得熔断时间（单位：ms ）为：42，65，75，78，71，57，59，54，55，68，问当05.0=α时，这批熔丝的熔断时间的方差是否仍为64？（可能用到的数据：483.20)10(2975.0=χ，247.3)10(2025.0=χ，023.19)9(2975.0=χ，700.2)9(2025.0=χ）.解：依题意检验假设2212020:,64:σσσσ≠==H H . )1(~12222--=n S n χσχ ,∴拒绝域为 [)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞---),1()1(,022122n n ααχχ . 这里05.0=α，10=n ，023.19)9(2975.0=χ,700.2)9(2025.0=χ,拒绝域为[()+∞,023.19)700.2,0 .计算可得4.62=x ，82.1212=s ，13.1782.1216496411022=⨯=-=s χ[()+∞∉,023.19)700.2,0 ，故接受0H ，即认为这批熔丝的熔断时间的方差仍为64.3、已知某一试验，其温度X 服从),(2σμN ，现测得5个温度值，计算得1259=x ，937.11=s ，问可否认为1277=μ？(取显著性水平05.0=α)（可能用到的数据776.2)4(597.0=t ,132.2)4(59.0=t ）解：检验假设1277:;1277:10≠=μμH H ，采用t 检验法，其拒绝域为)4(/12772αt n s x t ≥-=.经计算：372.3=t ，而776.2)4(372.3597.0=>t ， 故拒绝假设，即不能认为1277=μ.4、某种导线，要求其电阻的标准差不得超过Ω005.0.现抽取9根样品，测得Ω=007.0s ，设电阻X 服从),(2σμN ，问在显著性水平05.0=α下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大. （可能用到的数据507.15)8(95.02=χ，92.16)9(95.02=χ） 解：检验假设221220005.0:;005.0:>≤σσH H .采用2χ检验法，其拒绝域为)1()1(12222-≥-=-n s n αχσχ.经计算：68.15)1(222=-=σχs n ，而507.15)8(95.02=χ，可见)8(95.022χχ>，故拒绝0H ，即认为这批导线的标准差显著地偏大.第五章 回归分析一、测得某种物质在不同温度下吸附另一种物质的重量如下表所示。