应 用 数 理 统 计 复 习 题
1. 设总体X ~ N(20,3)，有容量分别为10, 15的两个独立样本，求它们的样本均值之差的绝对值小于 的概率.
_ _ _ _ 1
解：设两样本均值分别为 X,Y ，则X Y 〜N(0,—) 2
2. 设总体X 具有分布律
其中 (0
1)为未知参数，已知取得了样本值
X 1 1,X 2 2,X 3 1，求
的矩估计和最大似然
估计.
解：(1) 矩估计：
EX
2
2 2 (1 ) 3(1
)2 2
3
令EX X ，得 ?-.
6
(2) 最大似然估计：
得
? 5 6
3.设某厂产品的重量服从正态分布，但它的数学期望
和方差
2
均未知，抽查 10件，测得重量为 X
斤i 1,2, ,10。

算岀
给定检验水平
0.05 ，能否认为该厂产品的平均重量为斤?
附：(9)=
(10)= (9)= (10)=
解：检验统计量为T =|
将已知数据代入，得
所以接受H 。

4.
在单因素方差分析中，因素
A 有3个水平，每个水平各做 4次重复实验，
完成下列方差分析表，在
X - m 0 |
s/、n 1
5.4 - 5.0
t 二. __________ 10=2
J3.6/ 9
F O.95（2,9） 4.26 , F 7.5 4.26，认为因素A是显着的
5.现收集了16组合金钢中的碳含量x及强度y的数据，求得
x 0.125, y 45.7886丄拓0.3024, L xy25.5218，L yy2432.4566 .
（1）建立y关于x的一元线性回归方程？?，?x ；
（2）对回归系数1做显着性检验（0.05）.
解：（1）? % 25.5218 84.3975
l xx0.3024
所以，? 35.2389 84.3975X
（2）Q |yy ?|xy 2432.4566 84.3975 25.5218 278.4805
拒绝原假设，故回归效果显着.
（1）找岀对结果影响最大的因素；
（2）找出“算一算”的较优生产条件；（指标越大越好）
（3）写出第4号实验的数据结构模型。

8. 掷一枚硬币100次，观察到正面岀现
58次，能否认为该枚硬币是均匀的?
解：设正面岀现的概率为
p ，则
2
2.56
0.05
(1)，故接受H 。

，可以认为该枚硬币是均匀的.
(1)
9. 设总体的密度函数 p(x; ) CX , X C,C 0，C 为已知参数， 为n 时，求的
C R 下界.
解：In p(x; ) In ln c (
1)ln x
( 0.05)
0为未知参数.当样本容量
I( ) E In p(x;)
所以,
的C R 下界为
nI()
(1) 对结果y 影响最大的因素是 B ； (2) “算一算”的较优生产条件为 A 2B 2C 1
(3)
4号实验的数据结构模型为
2
y
a ?
b 2 G 4， 4 ~ N(0,)
(X) T (X _)
8.8(x 1 2.6) 2.8(x 2 3.9) 2.5(x 3 6.1)；
(2)
(X)
8.8 ( 0.8)
2.8 ( 0.3)
2.5 0.9
5.63 0
所以，X G.
1.0 4.2
2.30 0.25 0.47
x 1.8 1
2.2 ， 2 5.5 ，
1
0.25 0.60 0.04 ，X x 3.6
5.4
6.8
0.47 0.04 0.60
X 3
7.0
(1) 求线性判别函数
(X)；
⑵
对样品X 的归属做判别.
2.30 0.25 0.47
3.2 8.8
解:
1
(1) 1(
1 2
)
0.25 0.60 0.04 3.3 2.8
0.47 0.04 0.60
1.4
2.5
7.设总体G i
),G 2~N p (
~ N p ( i,
2,
)，样品为X .已知
独立，求 的最小二乘估计
n 2
解：令 Q
(y i
X i )
i 1
n
x
i y
i
i 1
n
2 X
i
i 1
12.总体X ~U ( , 2 )，其中 0是未知参数，X 1,K ,X n 是取自该总体的样本，
X 为样本均值，证
2 - 明：？ X 是参数的无偏估计和相合估计. 3
2 —
2 _ 2 2 证明：E ? E X = - EX
3
3
3 2
所以？是的无偏估计. 所以？是的相合估计.
2 2
13.总体X ~ N(,)， 已知，问样本容量n 取多大时才能保证
的置信水平为 95%的置信区间的
长度不大于k .
14.设X 1,K ,X n 是来自N( ,4)的样本，考虑如下假设检验问题
10.假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为
y i X i
i
, i 1,2,L ,n , i ~ N(0,)且相互
解得
11.设 X 1, X 2 ,L ,X n ,X n 1是来自N( ,
2
)的样本,
X n
n
X i ， i 1
解:
n
(X i
1
X n )2
， 试求常数C ，使得 t c
Xn S n
X
服从t 分布，并指岀分布的自由度
X n ~ N(0,
(n 1)S ：
2
(n 1)
~ t(n 1)， c
借.
解： 的置信水平为1
的置信区间为［X
S n
X n 1 U
1
若拒绝域为W {X 3}，样本容量n 16时，求该检验犯两类错误的概率
解：P(X 3| 2)
3 2
1 - - 1 (2)；J4/16
15.为了检验事件A发生的概率是否为p，对A进行了n次观察，结果A发生了n A次，若检验水平为
试写出检验统计量和拒绝域
1, A发生解：设X
0, A不发生
1即要检验X的分辨率是否为0
根据卡方检验法，检验统计量
拒绝域：2 2
(n 1)。