1 / 21 八年级数学下册知识点总结

第十六章 二次根式

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.二次根式有意义的条件： 大于或等于0。

3.二次根式的双重非负性：a：0a，0a

附：具有非负性的式子：0a；0a；02a

4.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。

5.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被 _____ ____ 相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

6.二次根式的性质：

（1）（a）2=a （a≥0）； （2）aa2

7.二次根式的运算：

（1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．

（3）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【典型例题】

1、概念与性质:

例1下列各式1），

其中是二次根式的是______________________________（填序号）．

例2、求下列二次根式中字母的取值范围:

（1） xx315； （2） 22)-(x ababbbaa22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa（＞0）

（＜0） 0 （=0）；

2 / 21 例3、 在根式1) ，最简二次根式是（ ）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

例4、已知：

的值。求代数式22,211881xyyxxyyxxxy

例5、 （2009龙岩）已知数a，b，若=b－a，则 ( )

A. a>b B. a

2、二次根式的化简与计算:

例1. 将根号外的a移到根号内，得 ( )

A. ； B. －； C. －； D.

例2. 把（a－b）－1a－b 化成最简二次根式:

例3、计算：

例4、先化简，再求值：

，其中a=，b=．

例5、如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ：222()abab

4、比较数值

（1）、根式变形法:

当0,0ab时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。

例1、比较35与53的大小。

（2）、平方法:

当0,0ab时，①如果22ab，则ab；②如果22ab，则ab。

例2、比较32与23的大小。

（3）、分母有理化法:

通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3、比较231与121的大小。 222;2);3);4)275xabxxyabc2()ab11()babbaab512512

3 / 21 （4）、分子有理化法:

通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、比较1514与1413的大小。

（5）、倒数法

例5、比较76与65的大小。

（6）、媒介传递法:

适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6、比较73与873的大小。

（7）、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①0abab；②0abab

例7、比较2131与23的大小。

（8）、求商比较法:

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：

①1aabb； ②1aabb

例8、比较53与23的大小。

5、规律性问题

例1. 观察下列各式及其验证过程：

， 验证：；

验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；

（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.

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第十七章 勾股定理

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么cba222。

应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足cba222，那么这个三角形是直角三角形。

应用： 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

（定理中a，b，c及222abc只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足222acb，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）

3、勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

5 / 21 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③勾股数扩大相同的的倍数依然是一组新的勾股数。如ka,kb,kc

4.直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

BC=21AB

∠C=90°

（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∠ACB=90°

CD=21AB=BD=AD

D为AB的中点

5.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理）

6、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90° BDADCD•2

 ABADAC•2

CD⊥AB ABBDBC•2

7、常用关系式

由三角形面积公式可得：AB•CD=AC•BC

8、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。

6 / 21 9、命题、定理、证明

1、命题的概念

判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：

（1）命题必须是个完整的句子；

（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

2、命题的分类（按正确、错误与否分）

真命题（正确的命题）

命题

假命题（错误的命题）

所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

3、公理

人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

4、定理

用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

5、证明

判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

6、证明的一般步骤:

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

10、三角形中的中位线:

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：