精 品 教 学 设 计
1.2集合的基本关系
一．教学目标
1.了解集合之间包含与相等的含义，理解子集、真子集的概念，能识别给定集合
的子集。

2.能使用Venn 图表达集合间的关系，具体感受数形结合的思想，体会直观图示
对理解抽象概念的作用。

二．教学重、难点
重点：集合间的包含与相等关系，子集与真子集的概念。

难点：属于关系（元素与集合）与包含关系（集合与集合）的区别。

三．教学过程设计
（一）创设情境
观察以下每组中的两个集合A 、B ，看看这两个集合中的元素有什么关系：
（1）A={1，2}，B={1，2，3}
（2）A=N ，B=Z
（3）A={高一（2）班男学生}； B= {高一（2）班学生}
（4）A={x ∈R ︱x ≥1}，B={}21,y y x x R =+∈
以上几组集合中，集合A 中的元素都在集合B 中。

（二）新课讲解
1.子集的定义：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B
的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或者说集合B 包含集合A 。

记作A ⊆B ，或B ⊇A 。

这时我们也说A 是B 的子集。

()1:
:A B A B ⊆∈⇒∈⊄∈⇒∉注：对任意x A x B 存在x A x B
()2A A ⊆任何集合都是它本身的子集，即
()3Veen 图：为了直观地表示集合间的关系，常用封闭曲线的内部表示集合。

子集的图示法如下：
当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，
记作A∨B，或B⇔A.
如A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∨B，当然，B ∨A.
规定：空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，都有Φ⊆A. 我们再来看看刚才所举的几组集合，即
（1）A={1，2}，B={1，2，3}
（2）A=N，B=Z
（3）A={高一（2）班男学生}；B= {高一（2）班学生}
（4）A={x∈R︱x≥1}，B={}
21,
y y x x R
=+∈
对于以上4组集合，都有一个共同的特点：对任意x∈A，都有x∈B。

它们有什么不同吗？
2.子集的两种情形
（1）集合相等：对于集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。

即：若A⊆B，且B⊆A，则A=B。

（2）真子集：对于集合A与B，如果A⊆B，且A≠B，我们就说A是B的真子集，记作A⇐B（或B⇑A），读作A真包含于B（或B真包含A）。

集合A=B和A⇐B可以用下面的图形来表示：
A=B
A B
Ø
3.子集，真子集性质：
（1）Φ⊆ A（空集是任何集合的子集）
若B≠Φ, 则ΦØB(空集是任何非空集合的真子集）
（2）A ⊆ A（任何一个集合是它本身的子集）
（3）传递性: 若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C
若A ØB ，B ØC ，则A ØC
4.两点说明：
（1）集合与集合的关系：包含（真包含和相等）不包含。

（2）元素与集合的关系：属于，不属于。

（三）范例讲解
例1.写出集合A={0，1，2}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。

解：A 的所有子集为Φ，{0}，{1}，{2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}
除{0,1,2}以外，其余7个集合都是它的真子集。

一般地，若集合A 中有 n 个元素，则集合A 有2n 个子集，21n - 个非空子集，
21n -个真子集，22n -个非空真子集。

例2、已知{a ，b}⊆A Ø{a ，b ，c ，d}，求所有满足条件的集合A 。

分析：本题考察的是子集与真子集的概念。

首先要弄清楚A 里面必须含有a 和b ，然后考虑A 里面含有其他哪些元素，按规律去找。

解：∵{a ，b}⊆A ，∴A 中必有元素a ，b 。

又∵ A Ø{a ，b ，c ，d}，
∴A 中的元素有2个或3个。

因此满足条件的集合A 有：
{a ，b}，{a ，b ，c}，{a ，b ，d}。

例3、已知A={x ︱x ＜3}，B={x ︱x ＜a}
（1）若B ⊆A ，求a 的取值范围。

（2）若A ØB ，求a 的取值范围。

分析：本题是将不等式的知识与集合的内容联系起来，通过不等式在数轴上的
表示即可获解。

解：（1）∵ B ⊆A ，如右图，
∴a ≤3.
（2）∵ A ØB ， 如右图，
∴a＞3.
例4、已知A={1，x，y}，B={x，2x, xy}，且A=B，求实数x，y。

分析：此题从集合A中的已知数1入手，因为A=B，则B中必有1，根据元素的互异性知，x≠1，故2x=1，或xy=1，从而分别求出x，y的值。

注意所求值是否使集合元素满足互异性是这类题容易忽略而引起错解的地方。

解：由A={1，x，y}可知，x≠1，y≠1。

∵A=B，∴①
21
x
x y y
⎧=
⎨
=
⎩或②2
1
xy
x y
=
⎧
⎨
=
⎩
由①得
1
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩或
1
x
y R
=
⎧
⎨
∈
⎩（舍）
由②得
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩（舍）。

故综上所述，x = -1，y=0。

再分析：由于本题给出的两个相等的集合是有限集，故可根据相等的有限集的性质：
（1）两个集合的所有元素之和相等；
（2）两个集合的所有元素之积相等。

列出关于x，y的方程组，求解即可。

解法二、∵A=B，
∴依题义有
2
2
1
1
x y x x x y
x y x x x y
⎧++=++
⎪
⎨
⋅⋅=⋅⋅
⎪⎩
即
3
(1)(1)0
(1)0
x x y
xy x
-++=⎧
⎨
-=
⎩
由集合中元素的互异性可知：x≠1，x≠0，
∴解方程组得x = -1，y=0。

例5、设A={x︱2x–8x+15=0}，B={x︱ax –1=0}，若B⊆A，求实数a 组成的集合。

分析：易知A={3，5}，而集合B为一个一次方程的解集，因此集合B中最多有
一个元素，有因为B⊆A，所以B= Φ或{3}或{5}，由此便可解出 a 的值。

解：∵A={3，5}又∵B⊆A，
∴B= Φ或{3}或{5}，
当B= Φ时，说明方程ax=1无解，∴a=0，
当B={3}时，有3a - 1=0，∴a= 1 3
当B={5}时，有5a – 1=0，∴a= 1 5
∴由实数a组成的集合为{ 0 ，1
3
，
1
5
}。

例6、已知集合A=Z，B=
1
,
22
n
x x n Z
⎫
⎧
=+∈
⎨⎬
⎩⎭
，试判断A，B 的关系。

分析：对于集合B，先考虑n取一些特殊值的情形，再通过观察弄清楚集合B 中的元素的构成情况，从而得出集合A，B的关系。

解：∵n∈Z，∴n=2k或n=2k+1，k∈Z。

当n=2k时，x=k+1
2
，
当n=2k+1时，x=k+1，为整数。

∴AØB。

再分析：因为整数分为奇数和偶数两类，因此我们对n分成奇数和偶数两种情况进行讨论。

解：当n取一些特殊值，如……，-2，-1，0，1，2，……时，集合B 中的元素
为……，113 ,0,,1, 222
-，……，通过观察发现集合B中的元素除了所有的整数外，
还含有其他的元素，如
113
,,
222
-等，因此AØB。

（四）课堂小结：
（五）作业布置
课本P9习题1-2A组2，3，4，5 B组。