2006年研究生入学考试模拟试题
数学二试卷答案
(1) 1
)
1(212211)1(212
2222++≤++++++≤++n n n n n n
n n n n n n Λ用夹逼定理可知原式21= (2) 作变量替换x t u -=2
则
⎰⎰---=
x
x x
u x t
x du e dt te 22
2
22
1
)
(
2222
22
1)12(210)()(x x
x x t x e x e dt te dx d +-=⎰-- (3) 微分方程x x x
y =++
'tany 1y sec 2
2
令 Z ＝tany ，化为x Z x
x
dx =++2
1dz ， 通解为 Z ＝
()
221x 131x
c ++＋，
即 tany ＝
()
221x 131x
c
++＋
(4) 交换累次积分的次序
原式＝
dy e dx x
x x
y ⎰
⎰2
121
＝
(
)
d x
e e x x ⎰-12
1
＝e e 218
3-
(5) ⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥-<≤<≤-+-<=-+21
200
121)]([2122x x x e x x x e x g f x x
(6)
解: γ1+k γ2也是AX =0的解⇔ γ1+k γ2可以用α1,α2 线性表示⇔r(α1,α2,γ1+k γ2)=r(α1,α2). 1 1 1 1 1 1
(α1,α2,γ1+k γ2)= 2 1 k → 0 -1 k-2 ,
0 a 1 0 0 1+ak-2a 1 0 2k 0 0 k+1
得a=1/3,k=-1.
(7) 用洛必达法则原式左边x
b x a x x cos lim 2
2
0-+=→ ]C [1,42
1~
cos 102
即可选可见时==-→b a x x x Θ (8)
0)(lim )(2cos 1)
(0=+=-→x x x
x f x αα其中
2)(lim 0)0()(lim )0(21
~cos 10)cos 1)(()cos 1(2)(002
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+=--='∴-→-+-=→→x x x x f x f f x x x x x x f x x αα时Θ 又当0)(cos 10)(||0><-<<<x f x x 可见充分小时εδΘ 故 ]D [0)0(0)0(选为极小值且=='f f (9) ()3
1
311x 031
2-=
=<≤⎰
x t d t x F x
时，当 ()1x t 1d x 211
－＝＝时，当⎰≤≤x
F x ，选[ D ]
(10) 选（C ）
(11) 选（D ） (12) 选（B ） (13) 解: (D).
αβT 的秩为1,其特征值为0 0 ,tr(αβT )= βT α =3, A 作为其多项式(1-2x 形式的), 特征值为1,1,-5. (14) 解: (D).
(A) A 列满秩,因此AX =0只有零解.
(B) A 不列满秩,因此A T
X =0有非零解.
(C) 因为系数矩阵A T 行满秩,所以对于任何3维向量β,A T
X =β一定有解.
(D) 因为系数矩阵A 的行向量是3个4维向量,存在4维向量β不能用它们线性表示,使得A X =β无解.
（15）证：由周期性可知,0)()2,1(,0)2()1()0(00>=∈===M x f x f f f 而不妨假设在
]2,[],1[00x x 和上分别用微分中值定理
存在)1(1)
1()()(),1(00101--=
'∈x f x f f x ξξ使
存在)2(2)()2()()2,(0
0202x x f f f x --=
'∈ξξ使
如果存在M x x f f x 21
)
(|)(|,)1()2
3,1(0010≥-=
'∈ξ得式则用
如果存在M x x f f ，x 22)(|)(|,)2()223
(
020≥-='∈ξ得式则用 式都可以式或则用如果)2()1(,2
3
0=x
故必有成立使M f ，
2|)(|)21(≥'∈ξξ
（16）证：根据拉格朗日中值定理存在()x ,0∈ξ使()()0f x f -=()()0-'x f ξ
于是 ()dx x f a ⎰0
＝()dx f x a
⎰
'0
ξ≤()2
2
0a M dx x M dx f x a
a ⋅=≤'⎰⎰ξ
（17）解：设从明年初（令此时0=t ）开始，第t 年湖泊中污染物A 的总量为m ,浓度为
V
m
，则在时间间隔],[dt t t +内，排入湖泊中A 的量为
dt m
dt V V m 6
600=⋅，流出湖泊的水中A 的量为
dt m
dt V V m 3
3=⋅因此在这段时间间隔内湖泊中污染物A 的改变量0
00300295|236m c m m ce m m dt m m dm t t
-==-=⎪⎭⎫
⎝⎛-==-得代入初始条件得通解于是，t m m e m m t
年即至多需经过得令3ln 63ln 6)91(2
030
==+=-
的湖泊中污染物A 含量降至0m 以内.
（18）解：由已知条件可知,11)0(,0)0(0
2
)
(arctan 2
=+=
'==-x x x e f f
故所求切线方程为x y =
2)0(22)
0()2
(2lim )2
(lim ='=-⋅=∞→∞→f n
f n f n
nf n n
（19）证：,1
,1,0),,(),(),(z
F G z F G z y x G z y
z x F v u F v
y u x
⋅'='⋅'='=== ,),()(2
2v u u z x v u z
F y F x F z
G G x z z y F z x F G '+''=''-=∂∂-'+-'=',v
u v z y
F y F x F z
G G y z '+''=''-=∂∂ 则得z y
z
y x z x
=∂∂+∂∂ （20）证：交换累次积分的次序
⎰⎰+---'=a
a
y
y a x y a dx
y f dy I 0
2
2)2
()2(
)
(
令 tdt y
a dx t y a y a x cos 2
,sin 22-=-=+-
则 ⎰⎰⎰-='=--'=-a a f a f dy y f dt t y a t y
a dy y f I 002
2)]0()([)(cos 2
cos 2)(ππππ
（21）证：麦克劳林公式3
2!
3)(!2)0()0()0()(x f x f x f f x f η'''+''+
'+= 其中 0)0(0],1,1[='-∈f ，
x x Θ之间与介于η 312)1)((61
)1(!2)0()0()1(0-'''+-''+
=-=ηf f f f )01(1<<-η 322)1)((61
)1(!2)0()0()1(1ηf f f f '''+''+==
)10(2<<η 后式减前式得 6)()(21='''+'''ηηf f
,,],[)(21m M ，x f 最小值为设其最大值为上连续在ηη'''Θ
则 再由介值定理,)]()([2
1
21M f f m ≤'''+'''≤
ηη 存在 3)]()([2
1
)(),1,1(],[2121='''+'''='''-⊂∈ηηξηηξf f f 使
（22）
解:方程XA =2X +B 可化简为X (A -2E )=B . 方法一:可先由解出X ,再求XC .(略)
方法二:也可从(A -2E )Y =C 解出Y ,则XC =X (A -2E )Y =BY .
1 2 4 3 2 1 0 0 -1 0 -1 0 (A -2E |C )= 0 1 2 2 1 → 0 1 0 0 1 , Y = 0 1 .
0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0
于是 -1 -2
XC =BY = 6 6 . -2 -2
(23)
解:由于A 是实对称矩阵,他的属于不同特征值的特征向量互相正交,于是
a-c=-a+b-1=-1+c=0, 得a=c=1.
由条件, 1 1 -1 0 1 -3
A 1 0 2 = 0 0 6 , -1 1 1 0 1 3 解此矩阵方程(略),得 1 -1 0
A -1 2 1 . 0 1 1。