方案设计问题（2012北海,23，8分）1．某班有学生55人，其中男生与女生的人数之比为6：5。
（1）求出该班男生与女生的人数；（2）学校要从该班选出20人参加学校的合唱团，要求：①男生人数不少于7人；②女生人数超过男生人数2人以上。
请问男、女生人数有几种选择方案？ 解：（1）设男生有6x 人，则女生有5x 人。
1分 依题意得：6x ＋5x ＝552分∴x ＝5 ∴6x ＝30，5x ＝25 ………3‘答：该班男生有30人，女生有25人。
4分 （2）设选出男生y 人，则选出的女生为(20－y )人。
5分 由题意得：2027y y y -->⎧⎨≥⎩6分解之得：7≤y ＜9 ∴y 的整数解为：7、8………..…….. 7分 当y ＝7时，20－y ＝13 当y ＝8时，20－y ＝12答：有两种方案，即方案一：男生7人，女生13人；方案二：男生8人，女生12人。
8分2.（2012年广西玉林市，24，10分）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天． （1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？（2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．试问：租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由．解：（1）设甲车单独完成任务需要x 天，乙单独完成需要y 天，由题意可得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+1511110x y y x ,解得：⎩⎨⎧==3015y x 即甲车单独完成需要15天，乙车单独完成需要30天；（2）设甲车租金为a ，乙车租金为b ，则根据两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元可得：⎩⎨⎧=-=+1500650001010b a b a ,解得：⎩⎨⎧==25004000b a . ①租甲乙两车需要费用为：65000元；②单独租甲车的费用为：15×4000=60000元；③单独租乙车需要的费用为：30×2500=75000元；综上可得，单独租甲车租金最少．3．（2012黑龙江省绥化市，27，10分）在实施“中小学校舍安全工程”之际，某县计划对A、B两类学校的校舍进行改造．根据预测，改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元．⑴改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是多少万元？⑵该县A、B两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承担，若国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A、B两类学校各有几所．解：（1）等量关系为：①改造一所A类学校和三所B类学校的校舍共需资金480万元；②改造三所A类学校和一所B类学校的校舍共需资金400万元；设改造一所A类学校的校舍需资金x万元，改造一所B类学校的校舍所需资金y万元，则34803400x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得90130xy=⎧⎨=⎩答：改造一所A类学校的校舍需资金90万元，改造一所B类学校的校舍所需资金130万元．（2）不等关系为：①地方财政投资A类学校的总钱数+地方财政投资B类学校的总钱数≥210；②国家财政投资A类学校的总钱数+国家财政投资B类学校的总钱数≤770．设A类学校应该有a所，则B类学校有（8-a）所．则()()()()203082109020130308770a aa a+-≥⎧⎪⎨-+--≤⎪⎩，解得31aa≤⎧⎨≥⎩∴1≤a≤3，即a=1，2，3．答：有3种改造方案．方案一：A类学校有1所，B类学校有7所；方案二：A类学校有2所，B类学校有6所；方案三：A类学校有3所，B类学校有5所．⑴改造一所A类学校和一所B类学校的校舍所需资金分别是90万元、130万元；⑵共有三种方案．方案一：A类学校1所，B类学校7所；方案二：A类学校2所，B类学校6所；方案三：A类学校3所，B类学校5所．4、为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学，老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、2支钢笔共需100元；4个文具盒、7支钢笔共需161元.（1）每个文具盒、每支钢笔个多少元？（2）时逢“五一”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：文具盒“九折”优惠；钢笔10支以上超出部分“八折”优惠.若买x 个文具盒需要1y 元，买x 支钢笔需要2y 元；求1y 、2y 关于x 的函数关系式； （3）若购买同一种奖品，并且该奖品的数量超过10件，请你分析买哪种奖品省钱. 解（1）设每个文具盒x 元，每支钢笔y 元，可列方程组得⎩⎨⎧=+=+1617410025y x y x ，解之得⎩⎨⎧==1514y x 答：每个文具盒14元，每支钢笔15元. ……………………………………………………..4分 （2）由题意知，y 1关于x 的函数关系式为y 1=14×90%x ，即y 1=12.6x.由题意知，买钢笔10以下（含10支）没有优惠，故此时的函数关系式为y 2=15x. 当买10支以上时，超出部分有优惠，故此时函数关系式为y 2=15×10+15×80%（x －10） 即y 2=12x +30 . ……………………………………………………..7分 （3）当y 1< y 2即12.6x<12x +30时，解得x<50; 当y 1= y 2即12.6x=12x +30时，解得x=50; 当y 1> y 2即12.6x>12x +30时，解得x>50.综上所述，当购买奖品超过10件但少于50件时，买文具盒省钱； 当购买奖品超过50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等；当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱. . ……………………………………………………..10分 （1）答：每个文具盒14元，每支钢笔15元. （2）y 1=12.6x ； y 2=12x +30.（3）当购买奖品超过10件但少于50件时，买文具盒省钱； 当购买奖品超过50件时，买文具盒和买钢笔钱数相等； 当购买奖品超过50件时，买钢笔省钱.5. (2012四川省南充市，20，8分) 学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车.若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元. （1）求大、小车每辆的租车费各是多少元？（2）若每辆车上至少．．要有一名教师，且总组成费用不超过．．．2300元，求最省钱的租车方案.解：（1）设租用一辆大车的租车费是x 元，租用一辆小车的租车费是y 元，依题意，得：+2=10002+=1100x y x y ⎧⎨⎩，解之，得：=400=300x y ⎧⎨⎩. 答：大、小车每辆的租车费分别是400元和300元.（2）240名师生都有座位，租车总辆数≥6；每辆车上至少要有一名教师，租车总辆数≤6.故租车总数事故6辆，设大车辆数是x 辆，则租小车（6－x ）辆.得：45+30(6-)240400+300(6-)2300x x x x ≥⎧⎨≤⎩，解之，得：4≤x≤5. ∵x 是正整数 ∴ x=4或5 于是又两种租车方案，方案1：大车4辆 小车2辆 总租车费用2200元，方案2：大车5辆 小车1辆 总租车费用2300元，可见最省钱的是方案1.18．（2012湖南益阳，18，8分）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A 、B 两种树苗共17棵，已知A 种树苗每棵80元，B 种树苗每棵60元．（1）若购进A 、B 两种树苗刚好用去1220元，问购进A 、B 两种树苗各多少棵？（2）若购买B 种树苗的数量少于A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省．．．．的方案，并求出该方案所需费用． 解：⑴设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗(17-x )棵，根据题意得： …1分80x +60(17- x )=1220 ……………………………………………2分 解得x =10 ∴ 17- x =7 …………………………3分答：购进A 种树苗10棵，B 种树苗7棵 ………………………………………4分⑵设购进A 种树苗x 棵，则购进B 种树苗(17-x )棵，根据题意得： 17-x < x 解得x >218……………………………………………6分 购进A 、B 两种树苗所需费用为80x +60(17- x )=20 x +1020则费用最省需x 取最小整数9，此时17- x =8 这时所需费用为20×9+1020=1200(元). 答：费用最省方案为：购进A 种树苗9棵，B 种树苗8棵. 这时所需费用为1200元.6．（2012四川省资阳市，22，8分）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）（1）(3分)一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？ （2）(5分)求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x 元、y 元，得801042000y x x y =+⎧⎨+=⎩ ……2分 解得120200x y =⎧⎨=⎩…………3分 ∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元（2）设购买办公桌椅m 套，则购买课桌凳20m 套，由题意有16000800001202020024000m m ≤-⨯-⨯≤ ………………………………………5分解得，7821241313m ≤≤ ………6分 ∵m 为整数，∴m =22、23、24，有三种购买方案：……7分7．（2012贵州铜仁，24，12分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A 、B 两种艺术节纪念品．购进A 种纪念品8件， B 种纪念品3件，需要950元；若购进A 种纪念品5件，B 种纪念品6件，需要800元． （1）求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？（3）若销售每件A 种纪念品可获利润20元，每件B 种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？【分析】（1）此问题等量关系式为：8件A 纪念品的钱数+3件B 纪念品的钱数=950； 5件A 纪念品的钱数+6件B 纪念品的钱数=800； 然后根据关系式即可列出方程求解1. 此问题关系式为：购买100件A 和B 资金不少于7500元，但不超过7650元，然后根据关系式即可列出不等式组，解出购进A 或B 的件数，即可得到商店有几种进货方案2. 可分别计算出各种方案的利润，然后比较大小即可。