2015年底数学必修一复习详细资料及例题第一章 集合及其运算 一．集合的概念、分类： 二．集合的特征：⑴ 确定性 ⑵ 无序性 ⑶ 互异性 三．表示方法：⑴ 列举法 ⑵ 描述法 ⑶ 图示法 ⑷ 区间法 四．两种关系：从属关系：对象 ∈、∉ 集合；包含关系：集合 ⊆、 集合五．三种运算： 交集：{|}A B x x A x B =∈∈且 并集：{|}A B x x A x B =∈∈或补集：UA {|U }x x x A =∈∉且六．运算性质： ⑴ A∅=A ，A ∅=∅．⑵ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集． ⑶ 若B A ⊆，则A B =A ，A B =B ．⑷ U A A =（）∅，U A A =（）U ，U U A =（）A．⑸U U A B =（）（）U AB （），U U A B =（）（）U AB （）．⑹ 集合123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅的所有子集的个数为2n，所有真子集的个数为21n-，所有非空真子集的个数为22n-，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为2nC ．第二章 函数 指数与对数运算一．分数指数幂与根式：如果nx a =，则称x 是a 的n 次方根，0的n 次方根为0，若0a ≠，则当n 为奇数时，a的n 次方根有1；当n 为偶数时，负数没有n 次方根，正数a 的n 次方根有2个，其中正的n．负的n次方根记做．1．负数没有偶次方根；2．两个关系式：n a =；||a n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数 3、正数的正分数指数幂的意义：m na =正数的负分数指数幂的意义：m na-=．4、分数指数幂的运算性质：⑴ m n m n a a a +⋅=； ⑵ m n m na a a -÷=；⑶ ()m n mn a a =； ⑷ ()m m ma b a b ⋅=⋅；⑸ 01a =，其中m 、n 均为有理数，a ，b 均为正整数二．对数及其运算1．定义：若b a N =(0a >，且1a ≠，0)N >，则log a b N=．2．两个对数：⑴ 常用对数：10a =，10log lg b N N==；⑵ 自然对数： 2.71828a e =≈，log ln e b N N==．3．三条性质： ⑴ 1的对数是0，即log 10a =； ⑵ 底数的对数是1，即log 1a a =；⑶ 负数和零没有对数． 4．四条运算法则：⑴log ()log log a a a MN M N=+； ⑵log log log aa a MM N N =-；⑶log log na a M n M=； ⑷1log log a a M n =．5．其他运算性质：⑴ 对数恒等式：log a bab =；⑵ 换底公式：log log log c a c a b b =；⑶log log log a b a b c c ⋅=；log log 1a b b a ⋅=；⑷log log m n a a nb b m =．函数的概念一．映射：设A 、B 两个集合，如果按照某中对应法则f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A 到集合B 的映射． 二．函数：在某种变化过程中的两个变量x 、y ，对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，则称y 是x 的函数，记做()y f x =，其中x 称为自变量，x 变化的范围叫做函数的定义域，和x 对应的y 的值叫做函数值，函数值y 的变化范围叫做函数的值域．三．函数()y f x =是由非空数集A 到非空数集B 的映射． 四．函数的三要素：解析式；定义域；值域．函数的解析式一．根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知x x x f 2)1(+=+，求函数)(x f 的解析式． 二．已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知()f x 是一次函数，且[()]43f f x x =+，函数)(x f 的解析式． 三．由函数)(x f 的图像受制约的条件，进而求)(x f 的解析式． 函数的定义域一．根据给出函数的解析式求定义域： ⑴ 整式：x R ∈⑵ 分式：分母不等于0⑶ 偶次根式：被开方数大于或等于0⑷含0次幂、负指数幂：底数不等于0⑸对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0 二．根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知()y f x=定义域为]5,2[，求(32)y f x=+定义域；已知(32)y f x=+定义域为]5,2[，求()y f x=定义域；三．实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域．函数的值域二．求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等．反函数一．反函数：设函数()y f x=()x A∈的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到()x yϕ=．若对于C中的每一y值，通过()x yϕ=，都有唯一的一个x与之对应，那么，()x y ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()x y ϕ=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=．二．函数()f x 存在反函数的条件是：x 、y 一一对应． 三．求函数()f x 的反函数的方法： ⑴ 求原函数的值域，即反函数的定义域⑵ 反解，用y 表示x ，得1()x f y -= ⑶ 交换x 、y ，得1()y f x -=⑷ 结论，表明定义域四．函数()y f x =与其反函数1()y f x -=的关系： ⑴ 函数()y f x =与1()y f x -=的定义域与值域互换． ⑵ 若()y f x =图像上存在点(,)a b ，则1()y fx -=的图像上必有点(,)b a ，即若()f a b =，则1()f b a -=．⑶ 函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于直线y x =对称． 函数的奇偶性：一．定义：对于函数()f x 定义域中的任意一个x ，如果满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为奇函数；如果满足()()f x f x -=，则称函数()f x 为偶函数．二．判断函数()f x 奇偶性的步骤：1．判断函数()f x 的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称； 2．验证()f x 与()f x -的关系，若满足()()f x f x -=-，则为奇函数，若满足()()f x f x -=，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数．二．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．三．已知()f x 、()g x 分别是定义在区间M 、N ()M N ≠∅上的奇（偶）函数，分五．若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．六．一次函数y kx b =+(0)k ≠是奇函数的充要条件是0b =；二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠是偶函数的充要条件是0b =． 函数的周期性：一．定义：对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，则)(x f 为周期函数，T 为这个函数的一个周期．2．如果函数)(x f 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期．如果函数()f x 的最小正周期为T ，则函数()f ax 的最小正周期为||Ta ．函数的单调性一．定义：一般的，对于给定区间上的函数()f x ，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值1x ，2x ，当12x x <时满足：⑴ 12()()f x f x <，则称函数()f x 在该区间上是增函数； ⑵12()()f x f x >，则称函数()f x 在该区间上是减函数．二．判断函数单调性的常用方法：1．定义法：⑴取值；⑵作差、变形；⑶判断：⑷定论：*2．导数法：⑴求函数f(x)的导数'()f x；⑵解不等式'()0f x>，所得x的范围就是递增区间；⑶解不等式'()0f x<，所得x的范围就是递减区间．3．复合函数的单调性：对于复合函数[()]y f g x=，设()u g x=，则()y f u=，可根据它们的单调性确定复合函数[()]y f g x=，具体判断如下表：4函数的图像一．基本函数的图像．三．函数图像自身的对称四．两个函数图像的对称第1章集合§1.1 集合的含义及其表示重难点：集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容；区别元素与集合等概念及其符号表示；用集合语言（描述法）表达数学对象或数学内容；集合表示法的恰当选择．考纲要求：①了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系；②能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题．经典例题：若x ∈R ，则｛3，x ，x 2－2x ｝中的元素x 应满足什么条件?当堂练习：1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）A ．某班个子较高的同学B ．长寿的人CD ．倒数等于它本身的数2．下面四个命题正确的是（ ）A ．10以内的质数集合是{0，3，5，7}B ．由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}C ．方程2210x x -+=的解集是{1，1} D ．0与{0}表示同一个集合3． 下面四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若 -a ∉Z ，则a ∈Z ；（3）所有的正实数组成集合R +；（4）由很小的数可组成集合A ；其中正确的命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．44．下面四个命题： （1）零属于空集； （2）方程x 2-3x+5=0的解集是空集；（3）方程x 2-6x+9=0的解集是单元集； （4）不等式 2 x-6>0的解集是无限集；其中正确的命题有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 5． 平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合是( )A ． {x,y 且0,0x y <>}B ． {(x,y)0,0x y <>} C. {(x,y) 0,0x y <>} D. {x,y 且0,0x y <>} 6．用符号∈或∉填空：0__________{0}， a __________{a }， π__________Q ，21__________Z ，－1__________R ，0__________N ， 0 Φ．7．由所有偶数组成的集合可表示为{x x = }．8．用列举法表示集合D={2(,)8,,x y y x x N y N =-+∈∈}为 ．9．当a 满足 时, 集合A ＝{30,x x a x N +-<∈}表示单元集． 10．对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是__________． 11．数集{0，1，x 2－x }中的x 不能取哪些数值？12．已知集合A ＝{x ∈N|126x－∈N}，试用列举法表示集合A ．13.已知集合A={2210,,x ax x a R x R ++=∈∈}.(1)若A 中只有一个元素,求a 的值; (2)若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.14.由实数构成的集合A 满足条件:若a ∈A, a ≠1,则11A a∈-,证明：（1）若2∈A ，则集合A 必还有另外两个元素，并求出这两个元素； （2）非空集合A 中至少有三个不同的元素。