八年二次根式、勾股定理综合复习经典学习过程一、知识点复习讲解1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：（1）（a）2=a（a≥0）；（2）==a a25.二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a≥0，b≥0）；=b≥0，a>0）（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222a b c+=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”0 （形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形， 化简得证３.勾股定理的适用范围cba HG F E DCB Abacbac cabcab a bccbaED CBA勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b ，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D C BA ADB C二、例题精析与课堂运用 第一部分：二次根式【例题】【历年考点例析】 考点1、无理数知识回顾：无限不循环的小数，叫做无理数。

知识特点：常见的无理数：1、π以及π的有理数倍数。

2、2、3、5； 3、2．01001000100001…………考查题型1、写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 。

（08年自贡市）分析：-1的绝对值是1，所以，小于－1的数的绝对值一定要大于1，只要符合 这一点，就可以了，所以，本题的答案不是唯一的。

解：小于－1的有理数-4、-5等等，小于－1的无理数-2、-3、-5等等。

2、从实数－2，－31，0，л，4中，挑选出的两个数都是无理数的为（）A. －31，0 B. л，4 C. －2，4 D. －2，л（08年湖北省宜昌市）分析：根据常见的无理数，可以发现只有-2和π是无理数，因此，选项D 是正确的。

3、如图1所示，A ，B ，C ，D 四张卡片上分别写有523π7 ，，，四个实数，从中任取两张卡片．A B C D（1）请列举出所有可能的结果（用字母A ，B ，C ，D 表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率．（08嘉兴市）、分析：用列表的方式，把所有的结果找出来，后根据无理数的定义，作出判断。

（图1）解：（1）仔细观察上面的四个数，不难发现B 、D 是无理数，A 和C 是有理数，结果列表如下：（2）仔细观察上表，一共有12种可能性，期中都是无理数的可能性有2种，因此，两个数都是无理数的概率为：61122。

考点2、平方根 知识回顾：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 叫做a 的平方根。

记作±a 。

读作“正负根号a ” 知识特点：（1）被开方数a ，满足的关系式是：a ≥0；（2）平方根x 与被开方数a ，满足的关系式是：x=±a ； （3）被开方数a 与平方根x ，满足的关系式是：a= x2= （±a）2= a2= （-a）2；（4）两个平方根之间满足的关系式是：a+（-a）=0，即两个平方根互为相反数，所以，他们的和为0. 如下说法都是正确的：（）①a的平方根是±a；②a是a的平方根；③-a是a的平方根；④±a是a的平方根；其中a是非负数。

此外，0的平方根是0这个特例要记清楚。

考查题型4、2的平方根是（）A．4 B C．D．（08年南京市）分析：根据平方根的特点，正数有两个平方根，且常用“±”来体现“两个”。

5、9的算术平方根是A. ±3B. 3C. －3D. 3（08恩施自治州）分析：算术平方根是平方根中的正数根，只有一个，所以，选项A、C都是不正确的；因为，32=9，所以，9的算数平方根是3。

6、化简：4=（）A．2 B．－2 C．4 D．－4（08年甘肃省白银市）分析：理解4的意义是解题的关键。

4的意义实际上就是求正数4的算术平方根，所以，应该只有一个，为正数，并且这个数的平方应该等于4，这样只有选项A符合要求。

7、。

(08年安徽省)分析：因为，（-4）2=16的意义是求正数16的算数平方根，因为，42=16=4.考点3、二次根式知识回顾：知识特点：形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式。

1、被开放数a是一个非负数；2、二次根式a是一个非负数，即a≥0；3、有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0.考查题型7,则x的取值范围是A.x>-5B.x<-5C.x≠-5D.x≥-5 (08常州市)分析：在这里二次根式的被开方数是x+5意义, 必须满足条件：x+5≥0，所以，x≥-5，因此，选项D是正确的。

8、若20a -=，则2a b -= ．（08年遵义市）分析：因为，|a-2|和3-b 都是非负数，并且它们的和是0， 所以，|a-2|=0且3-b =0，所以，a=2，b=3， 所以，a 2-b=4-3=1.9、若实数x y ，2(0y -=，则xy 的值是 (08年宁波市)分析：因为，2+x 和2)3(-y 都是非负数，并且它们的和是0，所以，2+x =0且2)3(-y =0，所以，x=-2，y=3，所以，xy=-23. 考点4、二次根式的化简与计算 知识回顾：二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。

知识特点：二次根式的加减运算：a m +b m =（a+b ）m ，（m ≥0）； 二次根式的乘法运算：a .b =ab ，( a ≥0, b ≥0)；二次根式的除法运算：a ÷b =b abba=，( a ≥0, b ＞0)；二次根式的乘方运算：2)(a =a ，( a ≥0)；二次根式的开方运算：2a =⎩⎨⎧-≥00,a ＜a a a ， 考查题型10、下列计算正确的是（ ）A ．=B =C 3=D 3=-（08年聊城市） 分析：这就是二次根式化简的综合题目，23与42的被开方数不相同，所以，它们不是同类二次根式，所以，不能进行合并计算，所以，A 是错误的；因为，22222482=⨯=⨯=，所以，B 也是错误的；因为，27÷3=39327==÷，所以，C 是正确的； 根据二次根式的开方公式，得到D 是错误的。