勾股定理学习要求掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．课堂学习检测一、填空题c，那么______＝ c2；这一定理在1．如果直角三角形的两直角边长分别为a、 b，斜边长为我国被称为 ______．2．△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1) 若a ＝ 5，＝12，则 c ＝ ______；b(2) 若 c＝41， a＝40，则 b＝______；(3) 若∠ A＝30°， a＝1，则 c＝______， b＝______；(4) 若∠ A＝45°， a＝1，则 b＝______， c＝______．3．如图是由边长为 1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A→B→ C 所走的路程为 ______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为 ______ ，斜边上的高为 ______．5．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为 ______．二、选择题2 2 26． Rt △ABC中，斜边BC＝ 2，则AB＋AC＋BC的值为 () ．(A)8 (B)4 (C)6 (D) 无法计算7．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，DC＝2，则 BD等于( )．(A)4(B)6(C)8(D) 2108．如图， Rt△ABC中，∠C＝ 90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形 BCFG的面积和为( )．2 2(A)150cm (B)200cm(C)225cm 2 (D) 无法计算三、解答题9．在 Rt△ABC中，∠C＝ 90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、 b、 c．(1)若 a∶ b＝3∶4， c＝75cm，求 a、 b；(2)若 a∶ c＝15∶17， b＝24，求△ ABC的面积；(3)若 c－ a＝4，b＝16，求 a、 c；(4)若∠ A＝30°， c＝24，求 c 边上的高 h c；(5)若 a、 b、 c 为连续整数，求 a＋b＋ c．综合、运用、诊断一、选择题10．若直角三角形的三边长分别为2， 4，x，则x的值可能有 ( ) ．(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个二、填空题11．如图，直线l 经过正方形的顶点，点、到直线l的距离分别是1、2，则正方ABCD B A C形的边长是 ______．12．在直线上依次摆着 7 个正方形 ( 如图 ) ，已知倾斜放置的 3 个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的 4 个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝ ______．三、解答题13．如图， Rt △ABC中，∠C＝ 90°，∠A＝ 30°，BD是∠ABC的平分线，AD＝ 20，求BC的长．拓展、探究、思考14．如图，△ABC中，∠C＝ 90°．(1) 以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形( 如图① ) ，探究S1＋S2与S3的关系；图①(2) 以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形( 如图② ) ，探究S1＋S2与S3的关系；图②(3) 以直角三角形的三边为直径向形外作半圆( 如图③ ) ，探究S1＋S2与S3的关系．图③测试 2勾股定理(二)学习要求掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．若一个直角三角形的两边长分别为12 和 5，则此三角形的第三边长为______．2．甲、乙两人同时从同一地点出发，已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，此时甲、乙两人相距 ______km．3．如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了 ______m路，却踩伤了花草．3题图4．如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高 2m，两树相距 8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 ______m．4 题图二、选择题5．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面树折断之前高( )．3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则5题图(A)5m(B)7m(C)8m(D)10m 6．如图，从台阶的下端点 B 到上端点 A的直线距离为()．6题图(A) 122(B) 10 3(C) 65(D) 8 5三、解答题7．在一棵树的10 米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的A处；另一只爬到树顶 D后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米 ?8．在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面 1 米，一阵风吹来，红水面，已知红莲移动的水平距离为 2 米，求这里的水深是多少米莲移到一边，花朵齐及?综合、运用、诊断一、填空题9．如图，一电线杆AB的高为10 米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC为____ __米．10．如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为 5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______(取3)二、解答题：11．长为 4 m 的梯子搭在墙上与地面成的顶端沿墙面升高了______m．45°角，作业时调整为60°角 ( 如图所示) ，则梯子12．如图，在高为 3 米，斜坡长为若楼梯宽 2 米，地毯每平方米5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米30 元，那么这块地毯需花多少元?? 拓展、探究、思考13．如图，两个村庄A、 B在河 CD的同侧， A、B两村到河的距离分别为A C＝1千米， BD＝3 千米， CD＝3千米．现要在河边 CD上建造一水厂，向 A、B 两村送自来水．铺设水管的工程费用为每千米 20000 元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用 W．测试 3勾股定理(三)学习要求熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．课堂学习检测一、填空题1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝ 90°，AC＝ 5，BC＝3，则AB＝______，AB边上的高CE＝______．2．在△ABC中，若AB＝AC＝20，BC＝24，则BC边上的高AD＝______，AC边上的高BE＝______．3．在△ABC中，若AC＝ BC，∠ ACB＝90°，AB＝10，则 AC＝______，AB边上的高CD＝______．4．在△ABC中，若AB＝BC＝CA＝a，则△ABC的面积为5．在△ABC中，若∠ACB＝ 120°，AC＝BC，AB边上的高______．CD＝3，则AC＝______，AB＝______，BC边上的高 AE＝______．二、选择题6．已知直角三角形的周长为 2 6 ，斜边为2，则该三角形的面积是( ) ．(A) 1(B)3(C)1(D)14 4 27．若等腰三角形两边长分别为 4 和6，则底边上的高等于( ) ．(A)7 (B)7 或41 (C) 4 2 (D) 4 2 或7三、解答题8．如图，在Rt △ABC中，∠C＝ 90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝ 5，BE＝2 10求AB的长．9．在数轴上画出表示10 及13 的点．综合、运用、诊断10．如图，△ABC中，∠A＝ 90°，AC＝ 20，AB＝ 10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．11．如图，将矩形ABCD沿 EF折叠，使点D与点 B 重合，已知AB＝3， AD＝9，求 BE的长．12．如图，折叠矩形的一边AD，使点 D落在 BC边的点 F 处，已知 AB＝8cm， BC＝10cm，求EC的长．13．已知：如图，△ABC中，∠ C＝90°， D为 AB的中点， E、 F 分别在 AC、BC上，且 DE⊥22 2DF．求证： AE＋ BF＝ EF．拓展、探究、思考14．如图，已知△ABC中，∠ ABC＝90°， AB＝ BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2， 3 上，且l1， 2 之的距离2，2， 3 之的距离3，求的是多少 ?l l l l AC15．如，如果以正方形ABCD的角 AC作第二个正方形ACEF，再以角A E作第三个正方形 AEGH，如此下去，⋯⋯已知正方形ABCD的面 S11，按上述方法所作的正方形的面依次S， S，⋯， S ( n 正整数)，那么第8个正方形的面S ＝2 3 n 8______，第n个正方形的面S n＝______．测试 4勾股定理的逆定理学习要求掌握勾股定理的逆定理及其应用． 理解原命题与其逆命题， 原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．课堂学习检测一、填空题1．如果三角形的三边长a 、b 、c 满足 a 2＋b 2＝ c 2，那么这个三角形是 ______三角形，我们把这个定理叫做勾股定理的______．2．在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设， 那么这两个命题叫做 ____________；如果把其中一个命题叫做原命题， 那么另一个命题叫做它的____________ ．3．分别以下列四组数为一个三角形的边长：(1)6 、 8、 10， (2)5 、 12、 13，(3)8 、 15、 17， (4)4 、5、 6，其中能构成直角三角形的有____________． ( 填序号 )4．在△ ABC 中， a 、b 、 c 分别是∠ A 、∠ B 、∠ C 的对边，222②若 a 2＋ b 2＝ c 2，则∠ c 为 ____________ ； ③若 a 2＋ b 2＜ c 2，则∠ c 为 ____________ ．5．若△ ABC 中， ( b － a )( b ＋ a ) ＝ c 2，则∠ B ＝ ____________； 6．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ ABC 是 ______三角形．7．若一个三角形的三边长分别为1、 a 、 8( 其中 a 为正整数 ) ，则以 a －2、a 、 a ＋ 2 为边的三角形的面积为 ______ ．8．△ ABC 的两边 a ， b 分别为 5，12，另一边 c 为奇数，且 a ＋ b ＋ c 是 3 的倍数，则 c 应为______，此三角形为 ______． 二、选择题9．下列线段不能组成直角三角形的是( ) ．(A) ＝6， b ＝ 8， ＝ 10(B) a 1, b2, c3ac(C) a5 1, c3(D) a 2, b 3, c6, b4410．下面各选项给出的是三角形中各边的长度的平方比，其中不是直角三角形的是( ) ．(A)1 ∶1∶ 2(B)1 ∶ 3∶ 4(C)9 ∶25∶ 26(D)25 ∶ 14 4∶ 16911．已知三角形的三边长为n、 ＋ 1、 ( 其中 2＝ 2 ＋ 1) ，则此三角形 ()．nmm n(A) 一定是等边三角形(B) 一定是等腰三角形 (C) 一定是直角三角形(D) 形状无法确定综合、运用、诊断一、解答题12．如图，在△ ABC 中， D 为 BC 边上的一点，已知 AB ＝ 13，AD ＝12，AC ＝ 15，BD ＝ 5，求CD 的长．13．已知：如图，四边形ABCD中， AB⊥ BC， AB＝1， BC＝2， CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD 的面积．14．已知：如图，在正方形中，F 为的中点，E 为的四等分点且＝1CB ，求ABCD DC CB CE4 证： AF⊥ FE．15．在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60°方向以每小时8 海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 海里的速度前进， 2 小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?拓展、探究、思考16．已知△ABC中，a2＋b2＋c2＝ 10a＋ 24b＋ 26c－ 338，试判定△ABC的形状，并说明你的理由．17．已知a、b、c是△ABC的三边，且a2c2－b2c2＝ a4－ b4，试判断三角形的形状．18．察下列各式： 32＋ 42＝ 52， 82＋62＝102， 152＋ 82＝ 172， 242＋ 102＝ 262，⋯，你有没有其中的律 ?用含n的代数式表示此律并明，再根据律写出接下来的式子．参考答案第十七章 勾股定理测试 1勾股定理 ( 一)1． a 2＋ b 2，勾股定理．2 ． (1)13 ； (2)9 ； (3)2 ，3 ； (4)1 ， 2 ．3． 2 5 ． 4 ． 5 2 ，5． 5． 132cm ． 6 ． A ． 7 ．B ． 8 ．C ．9． (1) a ＝ 45cm ． b ＝60cm ； (2)540； (3) a ＝ 30， c ＝ 34；(4)63 ； (5)12 ．10． B ． 11 ． 5. 12 ． 4． 13 ． 10 3.14． (1) S 1＋ S 2＝S 3； (2) S 1＋S 2＝S 3； (3) S 1＋S 2＝ S 3．测试 2 勾股定理 ( 二)1． 13 或 119. 2 ．5． 3． 2． 4 ． 10．5． C ． 6 ． A ． 7 ． 15 米． 8 ． 3米．29．103 10 ． 25． 11 ． 2 3 2 2. 12 ． 7 米， 420 元．3 A13． 10 万元．提示：作点关于的对称点 ′，连结 ′ ，与交点为 ．CDA A BCDO测试 3勾股 定理 ( 三)1．15 3234,34; 2 ． 16， 19.2 ． 3 ． 5 2 ， 5． 4． 4a .345． 6， 6 3 ， 3 3 ． 6 ． C ． 7 ．D8 ． 2 13. 提示：设BD ＝ DC ＝ m ， CE ＝ EA ＝ k ，则 2222k ＋ 4m ＝ 40， 4k ＋ m ＝ 25． AB ＝4m 2 4k 22 13.9． 1012 32 , 1322 32 , 图略．10． BD ＝ 5．提示：设 BD ＝ x ，则 CD ＝ 30－x ．在 Rt △ACD 中根据勾股定理列出 (30 － x ) 2＝ ( x＋ 10) 2＋20 2，解得 x ＝ 5．2211． BE ＝ 5．提示：设 BE ＝ x ，则 DE ＝ BE ＝ x ， AE ＝ AD － DE ＝9－ x ．在 Rt △ABE 中， AB ＋ AE222 2＝ BE ，∴ 3 ＋ (9 － x ) ＝ x ．解得 x ＝ 5．12． EC ＝ 3cm ．提示：设 EC ＝x ，则 DE ＝ EF ＝ 8－x ， AF ＝ AD ＝ 10， BF ＝ AF2AB 2 6 ，CF ＝ 4．在 Rt △CEF 中(8 － x ) 2＝x 2＋ 42，解得 x ＝ 3．13．提示：延长 FD 到 M 使 DM ＝ DF ，连结 AM ， EM ．14．提示：过A ， C 分别 作 l 3 的垂线，垂足分别为M ， N ，则易得△ AMB ≌△ BNC ，则AB 34 , AC 2 17 .n－ 115． 128， 2 ．测试 4 勾股定理的逆定理1．直角，逆定理． 2 ．互逆命题，逆命题． 3 ．(1)(2)(3) ．4．①锐角；②直角；③钝角．5 ．90°． 6 ．直角．7． 24．提示： 7＜a＜ 9，∴a＝ 8．8 ． 13，直角三角形．提示：7＜c＜ 17．9． D． 10 ． C． 11 ． C．12．CD＝ 9． 13 ．15.22 2 14．提示：连结AE，设正方形的边长为4a，计算得出AF， EF， AE的长，由AF＋ EF＝ AE得结论．15．南偏东30°．16．直角三角形．提示：原式变为( a－ 5) 2＋ ( b－12) 2＋ ( c－ 13) 2＝ 0．17．等腰三角形或直角三角形．提示：原式可变形为22222 2 18． 35 ＋ 12 ＝37 ， [( n＋1) － 1] ＋ [2( n＋ 1)]＝[(( a2－b2)( a2＋b2－c2) ＝ 0．2 2n＋1)＋1]．( n≥1且 n 为整数)第十七章勾股定理全章测试一、填空题1．若一个三角形的三边长分别为6， 8， 10，则这个三角形中最短边上的高为______．2．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．3．如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是 10cm2，则其中最大的正方形的边长为 ______cm．3题图4．如图，B，C是河岸边两点， A 是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ ACB＝45°， BC＝60 米，则点 A 到岸边 BC的距离是______米．4题图5．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE ⊥AC，OF⊥AB，点D，E，F 分别是垂足，且BC＝8cm，CA＝6cm，则点O到三边AB， AC 和 BC的距离分别等于______cm．5题图6．如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB＝6， BC＝8，将直角边AB 折叠使它落在斜边 AC上，折痕为AD，则 BD＝______．6题图7．△ABC中，AB＝AC＝ 13，若AB边上的高CD＝5，则 BC＝______．8．如图，AB＝ 5，AC＝ 3，BC边上的中线AD＝2，则△ ABC的面积为______．8 题图二、选择题9．下列三角形中，是直角三角形的是( )(A) 三角形的三边满足关系a＋ b＝ c(B) 三角形的三边比为1∶ 2∶ 3(C) 三角形的一边等于另一边的一半(D) 三角形的三边为9， 40，4110．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价 a 元，则购买这种草皮至少需要( )．10 题图(A)450 a元(B)225 a元(C)150 a元(D)300 a元11．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝ 90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为 8，则BE＝ ( ) ．(A)2 (B)3(C) 2 2 (D) 2 312．如图， Rt △ABC中，∠C＝ 90°，CD⊥AB于点D，AB＝ 13，CD＝ 6，则AC＋BC等于 ()．(A)5 (B) 5 13(C) 13 13 (D) 9 5三、解答题13．已知：如图，△ ABC 中，∠ CAB ＝ 120°， AB ＝ 4，AC ＝ 2，AD ⊥ BC ，D 是垂足，求 AD 的长．14．如图，已知一块四边形草地ABCD ，其中∠ A ＝ 45°，∠ B ＝∠ D ＝ 90°， AB ＝ 20m ，CD ＝10m ，求这块草地的面积．215．△ ABC 中， AB ＝ AC ＝ 4，点 P 在 BC 边上运动，猜想 AP ＋ PB ·PC 的值是否随点 P 位置的变化而变化，并证明你的猜想．16．已知：△ ABC 中， AB ＝ 15，AC ＝ 13，BC 边上的高 AD ＝12，求 BC ．17．如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和 3cm ，高为 6cm ．如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点 ，那么所用细线最短需要多长 ?如果从点 A 开始经过四个B侧面缠绕 n 圈到达点 B ，那么所用细线最短需要多长 ?18．如图所示， 有两种形状不同的直角三角形纸片各两块，其中一种纸片的两条直角边长都为 3，另一种纸片的两条直角边长分别为1 和 3．图 1、图 2、图 3 是三张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．图 1图2图 3(1)请用三种方法 ( 拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法 ) 将图中所给四块直角三角形纸片拼成平行四边形 ( 非矩形 ) ，每种方法要把图中所给的四块直角三角形纸片全部用上，互不重叠且不留空隙，并把你所拼得的图形按实际大小画在图1、图 2、图 3 的方格纸上 ( 要求：所画图形各顶点必须与方格纸中的小正方形顶点重合；画图时，要保留四块直角三角形纸片的拼接痕迹) ；(2)三种方法所拼得的平行四边形的面积是否是定值 ?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的面积各是多少；(3)三种方法所拼得的平行四边形的周长是否是定值 ?若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出三种方法所拼得的平行四边形的周长各是多少．19．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，6m， 8m．现在要将绿地扩充成等腰求扩充后等腰三角形绿地的周长．参考答案第十七章 勾股定理全章测试1． 8． 2 ．3. 3 ． 10.4 ． 30．5 ． 2．6． 3．提示：设点 B 落在 AC 上的 E 点处，设 BD ＝x ，则 DE ＝BD ＝ x ，AE ＝ AB ＝6，＝ 4， ＝ 8－ ，在 Rt △ 中根据勾股定理列方程．CECD xCDE7． 26 或 5 26.8． 6．提示：延长 AD 到 E ，使 DE ＝ AD ，连结 BE ，可得△ ABE 为 Rt △． 9 ．D ． 10 ． C 11 ． C ． 12 ． B13．221.提示：作 CE ⊥ AB 于 E 可得 CE3 , BE5, 由勾股定理得 BC2 7 , 由三角7AD 长．形面积公式计算14． 150m 2．提示：延长 BC ， AD 交于E ． 15．提示：过 A 作 AH ⊥ BC 于 H2＋ · ＝ 2＋ 2＋ ( － )(＋ )APPB PC AHPH BH PH CH PH22 2 2＝ AH ＋ PH ＋ BH － PH222＝ AH ＋ BH ＝ AB ＝ 16． 16． 14 或 4． 17． 10；2 9 16 2 .n18． (1) 略； (2) 定值， 12； (3) 不是定值， 8 62, 8 2 10 , 6 2 2 10 .19．在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ 8， BC ＝6由勾股定理得： AB ＝ 10，扩充部分为 Rt △ ACD ，扩充成等腰△ ABD ，应分以下三种情况．①如图 1，当 AB ＝ AD ＝ 10 时，可求 CD ＝ CB ＝ 6 得△ ABD 的周长为 32m ．图 1②如图 2，当 AB ＝ BD ＝ 10 时，可求 CD ＝ 4图 2由勾股定理得： AD4 5 ，得△ ABD 的周长为 (20 4 5)m. ．③如图 3，当 AB 为底时，设AD ＝BD ＝ x ，则 CD ＝ x －6，图 3由勾股定理得：25 80 x ，得△ ABD的周长为m.3 3。