0
0
0
3x1 5x2 2x3 0
这是一个齐次线性方程组。
9
第三步：讨论齐次线性方程组解的问题； 讨论线性相关和线性无关，转化为讨论齐次线性方程 组是否存在非零解问题。有非零解即存在 不全为0的数x1, x2 , , xm ， 使 得 x11 x22 xmm 0 成 立，那么向量组线性相关。如果只有零解，那么向量 组线性无关
或者 存在不全为0的实数k1, k2, k3，使得k11 k22 k33 0
3
一、基本概念
定义（线性相关/线性无关）
设
1
,
，
2
m
是一组
n
维向量，如果存在一组不全
为 0 的数 k1, k2 , , km ，使得 k11 k22 kmm 0 ，则称
1,2 ,m 线性相关，否则称线性无关。
19
四、线性相关/无关的基本性质
1、m个n维向量（m > n)一定线性相关， 即向量个数比向量维数大的时候向量组一定线性相关
2、若R n中的n个向量1 , 2 , ...., n 线性无关, 则R n中 任何一个向量 都可以由1 , 2 , ...., n线性表示,
且表示方法唯一 3、向量组线性无关,其部分组线性无关 4、向量组线性相关,其扩大组线性相关
4
注
1. 1,2 ,
,
线性无关
m
,即只有当
k1 km 0时, 才有
k11 k22 knm 0 成立 .
2. 向量组只包含一个向量 时,若 0则 线性相关,若 0,则 线性无关 .
3. 包含零向量的任何向量组是线性相关的.
5
例:
1
0
0
n维标准单位向量组1
=
0
，
2
=
1
，
1 , 2 , 3 , 。4 线性无关。
15
；
例： 1 (1, 2,3, 2),2 (0, 2, 5,3),3 (1, 0, 2, 4),是否线性相关
；
解：行向量的处理方法，转置
1 0 1 1 0 1
A
2
2
0
0
1
1
3 5 2 0 0 9
2
3
4
0
0
0
r( A) 3,因此1,2,3线性无关
特例：1
,
2
,
....,
n是一组n维向量,向量1,
2
,
....,
线性相关
n
A
0
14
；
例： 1 (1,1,1,1)T ,2 (1,1,1, 0)T ,3 (1,1, 0, 0)T ,4 (1, 0, 0, 0)T , 是否线性相关
；
解：
11 1 1
1
1
1
0 1 0,
11 0 0
10 0 0
10
R(A)=? m
否 有非零解
是 只有零解
1 0 1
2 2
0
0
1
,
2
,
线性相关
3
3 5 2
11
总结：
设1 , 2 , ...., m是一组n维向量,则判断线性相关或者线性无关
主要看是否存在一组不全为0的数k1, k2, , km , 使得:
k11 k22 kmm 0
a1i
a11 a12
令i
a2i
,
A
a21
a22
ani
an1 an2
a1m k1
a2m
,
x
k2
anm
km
则上式变为考虑线性方程组:Ax 0是否能有非零解问题
12
定理:设1 , 2 , ...., m是一组n维向量，则下列三个命题等价：
(1)向量1
,
2
,
....,
线性相关
m
(2)齐次方程组Ax 有非零解，A (1,2,....,m)
1 2
0 1
0 0
3
0
3 0
1 0
0 1
0 0
-5 1
4
3
2
1
1
0
0
0
1
-2
所以 41 52 3 24
17
2、证明类，给定符号表达的向量组的相关性
解题方法：
写出线性关系表达式，利用已知条件判 定是否存在不全为零的系数。
例
:
1
,
2
,
线性无关,证明:
3
(1)1 2 ,2 3,3 1 线性相关
(3)R(A) < m
特例：1
,
2
,....,
n是一组n维向量,向量1,
2
,
....,
线性相关
n
A
0
13
定理:设1 , 2 , ...., m是一组n维向量，则下列三个命题等价：
(1)向量1,
2
,
....,
线性无关
m
(2)齐次方程组Ax 只有零解，A (1,2,....,m)
(3)R(A)= m
20
感谢下 载
；
例： 1 (1, 2,3)T ,2 (0, 2, 5)T ,3 (1, 0, 2)T ,是否线性相关
解：三步走过程。
第一步：构造线性表达式： x11 x22 x33 0
1 0 1
第二步：带入相应的数值：
x1
2
x2
2
x3
0
0，
3 5 2
8
即
x1 0 x3 2x1 2x2
线性相关与线性无关
1
引例：
如果向量 与 方向相同或方向相反，则称为共线或平行
如果若干个向量平行于同一个平面，则称它们共面
我们很明显可以得到与 之间的代数关系：
存在唯一的实数 ， . 或者 存在不全为0的实数 与，使得k1 k2 0.
2
2
3
1
也可以得到1,2,3 之间的代数关系：
存在唯一的实数 与，使得1 2 3.
16
例: 设 (4,3,3,1),1 (1, 2,3, 4),2 (0,1, 2,3),3 (0, 0,1, 2)
4
(0,
0,
0,1);问
是否可由1,
2
,
3
,
线性表出,结果是多少
4
解: 注意处理行向量的方法
1 0 0 0 4 1 0 0 0 4
A
(1T
,
T 2
,
T 3
,
T 4
,
T
)
2 3
(2)1 2 ,2 3,3 1 线性无关
18
三、线性相关、线性无关、线性表示间关系
1、设1,
，
2
m是m个n维向量，则1
,
，
2
线性相关
m
m个向量中至少有一个向量可由另外的m 1个向量线性表示。
2、
设
, ,,
12
m
线性无关,而
, ,, 12
, m
线性相关,则
能由 , ,,
12
m
线性表
示, 且表示法是唯一的.
， n
0
0
0
1
线性无关
6
二、几类典型问题求解
• 1、给定确定的向量组，判别它们是否线性相关或线性无关 • 2、证明类，给定符号表达的向量组的相关性
说明 :
我们这里讨论的向量都是列向量，若1,2
是行向量，
m
则讨论1T
,
T 2
mT，不影响最后的结论。
7
1、给定确定的向量，判别是否线性相关或线性无关