y x f(x) x f(x) x0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0
o a
y
如果在某个区间内恒有 f ( x ) 0 , 则 f ( x ) 为常数.
二.例题：
1.设f ´(x)是函数f(x)的导函数，y=f ´(x) 的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有 y 可能是( D )
y y
o o 1 2
x o y 1 2 x
1
2
x
A
y 2 o1 x
B
o1 2
x
C
D
2.判断下列函数的单调性，并 求出单调区间。
有导数，那么
/
[f(x) g(x)] f (x) g (x)
[C f(x)] Cf (x) 6、 求导的方法——
/ /
定义法 公式法
引例、 已知函数y=2x3-6x2+7, 求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.
用定义法判断函数单调性的步骤：
（1）任取x1<x2
( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形
3：设函数f(x)=ax- (a+1)ln(x+1)， 其中a≥-1，求f(x)的单调区间。 变式1：已知函数f(x)=ln(2-x)+ax在区 间(0,1)上是增函数，求实数a的取值 范围。
变式2：已知x>1，求证：x>ln(x+1).
小结：根据导数确定函数的单调性 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数.
（3）判断符号
（4）下结论
引入： 函数单调性体现出了函数值y随自变 量x的变化而变化的情况, 而导数也正是研究自变量的增加量 与函数值的增加量之间的关系 于是我们设想一下能否利用导数来 研究单调性呢？
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们 发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
(3)函数的极大(小)值可能不止一个,而且函数的 极大值未必大于极小值;
(4)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端 点不能成为极值点。
【问题探究】 函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点附近的导数符号有什么规律?
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f ( x2 )
O
a
x1
【函数极值的定义】
设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义， (1)如果在x=处的函数值比它附近所有各点的 函数值都大，即f(x)<f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值.记作:y极大值=f(x0)
(2)如果在x=x0处的函数值比它附近所有各点的 函数值都小，即f(x)>f(x0),则称 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值.记作:y极小值=f(x0)
极大值与极小值统称为极值,x0叫做函数的极值点.
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f ( x2 )
O
a
x1
x2
x3
x4
b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
【关于极值概念的几点说明】
(1)极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附 近的大小情况; (2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(1) f ( x ) sin x x, x (0, ) ( 2) f ( x ) 2 x 6 x 7
3 2
(3) f ( x ) 2 x x
2
利用导数判断函数单调性的基本步骤：
(1)确定定义域； (2)求f ´(x);
(3)在f(x)的定义域内解不等式f ´(x)>0 和f ´(x)<0; (4)确定函数f(x)的单调区间。 注、单调区间不 以“并集”出现。
用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
(1) 求函数的定义域
（2）求出函数的导函数
（3）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
求解不等式f``(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。
函数的极值与导数
【思考】
已知函数 f(x)=2x3-6x2+7 (1)求f(x)的单调区间,并画出其图象; (2)函数f(x)在x=0和 x=2处的函数值与这 两点附近的函数值 有什么关系?
3.解不等式f ′ (x)>0,得函数单增区间; 解不等式f ′ (x)<0,得函数单减区间.
设函数y=f(x)在某个区间内有导数， 如果在这个区间内y`>0，那么y=f(x)为这 个区间内的增函数；如果在这个区间内 y`<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
y`>0
y`<0
增函数 减函数
判断函数单调性的常用方法： （1）定义法 （2）导数法
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
定理
一般地，函数 y＝f(x)在某个区间(a,b)内
1) 如果恒有f ′ (x)>0，那么y＝f(x)在这 个区间(a,b)内单调递增；
2) 如果恒有f ′ (x)<0，那么y＝f(x)在这 个区间(a,b)内单调递减。
函数单调性与导数
复习
1 、 某点处导数的定义——
f(x0 Δx) f(x0 ) f (x0 ) lim Δ x0 Δx
这一点处的导数即为这一点处切线的斜率
2 、 某点处导数的几何意义——
3 、 导函数的定义——
f(x Δx) f(x) f (x) lim Δ x0 Δx
4、由定义求导数的步骤（三步法）
(1)求增量 Δy f(x Δx) f(x)
Δy f(x Δx) f(x) (2)算比值 Δx Δx
Δy (3)求极限 y lim Δ x0 Δx
5、
求导的公式与法则——
(C ) 0
/
( x ) nx (n N )
n / *
n1
如果函数 f(x)、g(x)
/ /
x2
x3
x4
b
x
【函数的极值与导数的关系】 (1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)>0
右侧f /(x)<0, 那么f(x0)是极大值
(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)<0
右侧f /(x)>0, 那么f(x0)是极小值
如何判断f (x0)是极大值或是极小值？