第四课时 函数的周期性
对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x
取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x) ，那
么 f (x)就叫做周期函数. T 叫做这个函数的周期.
kT(k∈ Z ,k≠0) 也是 f (x)的周期，即
有 f (x+k T)=f (x) .
根据定义，若f(x)为周期函数，且f 则它的一个周期T=|x1-x2a|
∴f (0)=0.∴f (2012)=0.
a
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【变式题：】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满足
f (x 2) 1 , 求 f (2012)的值. f (x)
a
5
【学生展示2】 定义在 R 上的函数y=f (x)，满足
f (x+1)+f (x)=0，且在区间[-1，0]上单调递增，
设a=f ( 2 )，b=f (2)，c=f (3)，则 ( )
f (x-1)-f (x-2), x>0
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
由f f(2已()2=0知f0(9得1))=f-ff((-(2100))0==8l-o1)-g, f2f2((=2301)=0, 7ff)(=(02)f)=-(02,0ff0((171)))=-=-ff1((2-00()-0-16f))(=--01,f)=(2-010,7) f =(4-)=f (f2(030)6-)f =(2-)=f0(-2(0-015))=+1f,(f2(050)4=)f (4)-f (3)=1, f =(6-)=f f(2(50)0-4f)+(4f)(=200,03) +f (2004)= f (2003) 所所以以函函数数f f(x()x的)的值周以期6为为周6，期所重以复f性(2出00现9)，= f所(-以1)=f1(,2009)=
A.c＜a＜b B.C. c＜b＜a
B. b＜c＜a D. a＜b＜c
【答案】 A
f (x)是周期为2的周期函数.
∴a=f ( 2 )=f ( 2 -2)，
b=f (2)=f (0),
c=f (3)=f (-1).
又f (x)在区间［-1，0］上单调a 递增, ∴c＜a＜b.
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注意结论特征：自变量x前的系数同号。 否则不成立。
f (5)=1, 故选C.
a
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已知定义在R上的函数满足f(x)f(x3), 2
且f(2)f(1)1, f(0)2, 则f(1)f(2) f(2011)f(2012)______
-2
a
12
3.已知定义在R上的函数 f (x)是以2为周期的奇函数，则
方程 f (x)=0在［-2,2］上至少有
个实数根
【名师示范1】函数 f（x）的定义域为 R ，
且 f (x)与f (x+1）都是奇函数，则 f (x)的周期
是2
.
分析 求周期即求满足 f（x +T）= f (x)的T值.
(∴f由即∴（∴f设即∴定((--f② ff换 ftff=义（（xx((((--x--++得 元法xxx-xxt11)1））+))))法f=)====)1[=f--的的--∵-,）f则(ffff(2(周周((fx((-xxxx∵xxt-(+)=))1++x期期11f))11])及-(为为))=tx由-f)22f及(..②(xxf+-得(11x))f+=a(1-t))f=(-xf+(12)-,t),
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变式：设f (x)是定义在R上的偶函数， 且f (1x) f (1x),当0x1时， f (x) 1x,则f (8.6) __0_.3____
2
a
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【名师示范2】 （2009山东）定义在 R 上的函数 f (x)满
log2(1-x), x≤0, 足f (x)=
【答案】 C
则 f (2009)的值为（ ）
a
2
【变式练习2】
已 知 函 数 f(x)(x∈R)的图象经过
原点，且f(x ＋ 2)＝f(x ＋ 6)，求
f(2012)的值．
定义法
换元法
【解析】令u＝x＋2，得x＝u－2，
则f(u)＝f(u＋4)，所以函数f(x)的周期为3.
依题意，f(0)＝0，且2012＝503×4，
所以f(2012)＝f(0)＝0.
【答案】 5
a
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（2010安徽）若 f (x)是 R 上周期为5的奇函数，且满足 f
(1)=1，f (2)=2,则 f (3)-f (4)=
()
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
【答案 A
【解析】f (3)-f (4)=f (-2)-f (-1)=-f (2)+f (1)=-2+1=-1，所以选A.
a
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1.已知定义在 R 上的奇函数 f（x）满足
f（-x+2）+f (x)=0, 则 f (x)是 ( )
A. 常函数
B.
C. 周期为2的周期函数 D. 周期为1
【答案】 C
【解析】 ∵f (-x+2)=-x),∴选C.
a
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考点 1 函数周期性的判断及其应用
a
3
【学生展示1】已知定义在 R 上的奇函数 f (x)满 足 f (x+2) = -f (x),求 f (2012)的值.
【解释】 ∵f (x+2)=-f (x),
∴f (x+4)=-f (x+2).
∴f (x+4)=f (x). ∴f (x)是周期函数，周期为4. ∴f (2012)=f (4×503)=f (0).又f (x)是R上的奇函数，
(x1)=f
(x2)，
1
．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝f(x)，当
x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则 f(2 011)等于 ( A )
A．－2 B．2 C．－98 D．98
定义法
解析 ∵f(x)的周期 T＝4， ∴f(2 011)＝f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
a
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