并成一组, 个元素并成一组 叫做从n个不同元素中取出 个元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出 m个元素的一个组合. 个元素的一个组合. 个元素的一个组合 排列定义: 一般地说,从n个不同元素中,取出m (m≤n) 排列定义: 一般地说, 个不同元素中,取出m 个元素,按照一定的顺序排成一列, 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 个元素的一个排列 排列. 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 思考: 排列与组合的概念,它们有什么共同点,不同点? 思考: 排列与组合的概念,它们有什么共同点,不同点? 共同点:都要 都要" 个不同元素中任取m个元素 共同点 都要"从n个不同元素中任取 个元素" 个不同元素中任取 个元素" 不同点:对于所取出的元素 排列要" 对于所取出的元素, 不同点 对于所取出的元素,排列要"按照一定的顺序 排成一列",而组合却是"不管怎样的顺序并成一组". 排成一列" 而组合却是"不管怎样的顺序并成一组" 排列与元素的顺序有关,而组合则与元素的顺序无关 与元素的顺序有关, 想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合 为什么 是相同的排列还是相同的组合?为什么 想一想 与 是相同的排列还是相同的组合 为什么? 两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢 两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢? 两个相同的组合呢
A =6
问题二:从甲, 名同学中选出2名去参 问题二:从甲,乙,丙3名同学中选出 名去参 名同学中选出 加一项活动,有多少种不同的选法? 加一项活动,有多少种不同的选法? 甲,乙;甲,丙;乙,丙
无顺序
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出 (m≤n) 一般地, 个不同元素中取出m( 个不同元素中取出 )
(1) 中国—美国 1 中国— 美国—古巴 美国— (2) 冠 ) 军 亚 军 中 美 中 古 中 俄 美 中
中国— 中国—古巴 美国—俄罗斯 美国— 美 古 美 俄 古 中 古 美 古 俄
中国— 中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯 古巴— 俄 中 俄 美 俄 古
组合数: 组合数 从n个不同元素中取出 (m≤n)个元素的所有组 个不同元素中取出m( ) 个不同元素中取出 合的个数,叫做从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 合的个数,叫做从 个不同元素中取出 个元素的 m 组合数, 组合数,用符号 C 表示
组合
排列
abc acb abd adb acd adc bcd bdc bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
abc abd acd bcd
求 A4可分两步考虑: 3 求P 可分两步考虑:
4
3
第一步, C 4 ( = 4)个;
n
如:
C =3
2 3
C =6
2 4
思考:如何计算 思考 如何计算: 如何组合. 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合. c a b b c c d d abc , abd , acd , bcd . d
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列. 四个元素中任取三个元素的所有排列
cdbd bc cdadac bd ad ab bcacab b c d a a c d b a b c d a b d c
所有的排列为:
abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc cab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb
3
第二步, A3 ( = 6)个;
3
根据分步计数原理, A4
3
=CA
3 4
3 3 .
P ∴ = A = 3 从而C 4 C3 P3
3
3 4 4
3
3 4
A
3
个不同元中取出m个元素的排列数 从 n 个不同元中取出 个元素的排列数
A =C A
m n m n
m m
组合数公式: 组合数公式
A n(n 1)(n 2) (n m + 1) C = = A m!
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 从 三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: 所有组合分别是 ab , ac , bc (3个) 个 已知4个元素 如:已知 个元素 , b , c , d ,写出每次取出两个 已知 个元素a 写出每次取出两个 元素的所有组合. 元素的所有组合
判断下列问题是组合问题还是排列问题? 判断下列问题是组合问题还是排列问题
(1)设集合 设集合A={a,b,c,d,e},则集合 的含有 个元素的 的含有3个元素的 设集合 ,则集合A的含有 子集有多少个? 子集有多少个 组合问题 (2)某铁路线上有 个车站,则这条铁路线上共需准备 某铁路线上有5个车站 某铁路线上有 个车站, 多少种车票? 排列问题 多少种车票 有多少种不同的火车票价? 有多少种不同的火车票价? 组合问题 (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 共有多少种分法? 共有多少种分法 组合问题 (4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候, 人聚会, 人聚会 见面后每两人之间要握手相互问候, 共需握手多少次? 组合问题 共需握手多少次 (5)从4个风景点中选出 个安排游览 有多少种不同的方法 个风景点中选出2个安排游览 有多少种不同的方法? 从 个风景点中选出 个安排游览,有多少种不同的方法 组合问题 (6)从4个风景点中选出 个,并确定这 个风景点的游览 个风景点中选出2个 并确定这 并确定这2个风景点的游览 从 个风景点中选出 顺序,有多少种不同的方法 有多少种不同的方法? 排列问题 顺序 有多少种不同的方法
a
b c d c
b
d
c
d
6个 个
ab , ac , ad , bc , bd , cd
练习: 练习
中国,美国,古巴, 中国,美国,古巴,俄罗斯四国女排邀 请赛,通过单循环决出冠亚军. 请赛,通过单循环决出冠亚军. (1)列出所有各场比赛的双方; 列出所有各场比赛的双方; (2)列出所有冠亚军的可能情况. 列出所有冠亚军的可能情况.
组合与组合数公式
问题一:从甲, 名同学中选出2名去参 问题一:从甲,乙,丙3名同学中选出 名去参 名同学中选出 加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的 加某天的一项活动,其中 名同学参加上午的 活动, 名同学参加下午的活动 名同学参加下午的活动, 活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不 同的选法? 同的选法? 2 有顺序 3
m n m n m m
n! C = m !(n m)!
m n
例1计算:⑴ 计算:
C
4 7
⑵
C
7 10
(3) 已知
求证: 例2求证: 求证
C
m n
3 n
=
A
2 n
,求 n .
m + 1 m +1 C = C n nm
.
�