5
1.6
x c ( x c ) g ( x ) 0 ( c x c ) x c ( x c) 其中 c 0 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知，
设函数 g ( x ) 为
求 Y g ( X ) 的概率分布函数。 解：g ( x ) 为分段函数，可根据函数定义分三种情况讨论如下： (1)当 y 0 时，FY ( y) P(Y y) P( X y c) FX ( y c) (2)当 y 0 时，FY (0) P(Y 0) P( X c) FX (c) (3)当 y 0 时，FY ( y) P(Y y) P( X y c) FX ( y c) 其中，(2)和(3)可合并为：当 y 0 时，FY ( y) FX ( y c)
FX ( y c)
7
1.8 (1/2)
设随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
求 E (Y | X ) 。
1 y ( y x , x ) e f ( x, y) 2 (其他) 0
解： X 的边缘概率密度为
f X ( x)
条件概率密度为
f X (L-1y ) L-1 1 f X (L y ) L
-1
x1 y1 xN y1
x1 yN xN yN
N 维正态随机变量 X 的概率密度为
1 T 1 f X ( x) exp (x m X ) K X (x m X ) 1/2 N /2 2 (2 ) K X 1 1 -1 T 1 -1 f Y (y ) exp ( L y m ) K ( L y m ) X X X 1/2 2 (2 ) N /2 K X L 1



y fY | X ( y | x 1/ 2)dy
13
1
0
y (a 2by) 3a 4b dy ab 6a 6b
1.11
某设备的有效期（按年计算）的分布函数为
0 ( x 0) FX ( x) x /5 1 e (0 x )
求：(1)该设备有效期的均值；(2)该设备有效期的方差。
解：根据题意， Y 只有两个值可取： A 或 0 （离散随机变量）
P{Y A} P{x0 x x1} FX ( x1 ) FX ( x0 )
P{Y 0} 1 P{Y A} 1 FX ( x1 ) FX ( x0 )
因此， Y 的概率分布函数可写为
FY ( y) [ FX ( x1 ) FX ( x0 )]U ( y A) [1 FX ( x1 ) FX ( x0 )]U ( y)
n odd
3
1.3 (2/2)
fY ( y )
n


f X ( xn )
dxn dy d (arcsin y n ) d ( arcsin y n ) f X ( arcsin y n ) dy dy n odd
n even

X1 X X 2 XN
记
Y1 Y Y 2 YN
线性变换 Y LX
L 为 N N 矩阵
15
1.12
假定 L 为满秩，得 x L-1y 由多维随机变量的函数的求解表达式
f Y (y ) f X (L-1y ) J f X (L-1y )
1
条件均值为
f XY ( x, y ) 2(ax by) fY | X ( y | x ) (0 x, y 1) f X ( x) 2ax b 将 X 1/ 2 代入，得 a 2by fY | X ( y | x 1/ 2) (0 y 1) ab
E (Y | X 1/ 2)
(1)当 y c 时， FY ( y) P(Y y) P( X y c) (2)当 c y c 时， FY ( y) P(Y y) P( X 0) (3)当 y c 时， FY ( y) P(Y y) P( X y c)
FX ( y c) FX (0)
fY ( y )


f XY ( x, y ) 2(ax by) f X |Y ( x | y) (0 x, y 1) fY ( y ) a 2by 条件均值为 1 2 x(ax by ) 2a 3by E ( X | Y ) x f X |Y ( x | y)dx dx 0 a 2by 3a 6by 8a 3b E ( X | Y 1/ 4) 将 Y 1/ 4 代入，得 12 12a 6b
f X (arcsin y n )


n even

f X (arcsin y n )
1 1 y2
f X ( arcsin y n )
n odd
1 1 y2
1 1 y
2
n


f X ( xn )
综合以上情况，得：
1 fY ( y ) 1 y 2 0,
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1
1.2
设随机变量 X 服从二项式分布，其概率分布律为
m m P{ X m} Cn p (1 p)nm (m 0,1, 2, 求 X 的均值和方差。
, n; 0 p 1)
n


f X ( xn ),
y 1 y 1
n even arcsin y n , 其中 xn arcsin y n , n odd
4
1.5
设 Y g ( X ) ，其中
A ( x0 x x1 ) g ( x) 0 (其他) 假定随机变量 X 的概率分布函数已知，求 Y 的概率分布函数。


y fY | X ( y | x)dy

x
x
y e
x
x y
dy
e
x
y e y dy
x
e ( x e
e )
x
x 1
9
1.9 (1/2)
已知随机变量 X 在 [0, a] 上服从均匀分布，随机变量 Y 在 [ X , a] 上服从均匀分布，试求
x
1 y 1 x e dy e 2 2
( x )
f XY ( x, y) x y (y x ) f ( x) e fY | X ( y | x ) X 0 (y x )
8
1.8 (2/2)
根据条件概率密度可得到条件均值为
E (Y | X )
解：由分布函数的形式，可知该设备的有效期服从指数分布 由指数分布的数字特征的性质，得
E( X ) 5
D( X ) 25
14
1.12
设 X1 , X 2 , X 3 相互独立，且都服从均值为 0、方差为1的标准 正态分布，证明： 1 1 1 Y1 ( X1 X 2 ), Y2 ( X1 X 2 2 X 3 ), Y3 ( X1 X 2 X 3 ) 2 6 3 也相互独立，且都服从均值为0、方差为1的标准正态分布。 解：先给出 N 维正态随机变量的线性变换的概率分布的通用 表达式
解： 由二项式分布与（0，1）分布之间的关系，上述二项式分布 可看作 n 个独立的参数为 p 的（0，1）分布之和
因为（0，1）分布的均值为 p ，方差为 p(1 p)
因此上述二项式分布的均值为 np ，方差为 np(1 p)
2
1.3 (1/2)
设随机变量 Y 与 X 满足以下函数关系： Y g ( X ) sin( X ) 其中 是已知变量，求 Y 的概率密度。 解：根据函数 Y sin( X ) 的值域，显然有 Y 1 当 y 1 时，有 g ( y) 为多值函数，包括 因此，当 y 1 时，有 fY ( y) 0
最后得
FX ( y c) ( y 0) FY ( y) FX ( y c) ( y 0)
6
1.7
设函数 g ( x ) 为
x c ( x 0) g ( x) x c ( x 0) 其中 c 0 为常数，假定随机变量 X 的概率分布函数已知， 求 Y g ( X ) 的概率分布函数。 解：g ( x ) 为分段函数，可根据函数定义分三种情况讨论如下：

11
1.10 (1/2)
设随机矢量 ( X , Y ) 的联合概率密度为
2(ax by ) f ( x, y ) (0 x, y 1) ab 计算：(1) E ( X | Y 1/ 4) ；(2) E (Y | X 1/ 2) 。
解： (1)由联合概率密度可得边缘概率密度为
因此，条件概率密度为
2(ax by ) a 2by f ( x, y )dx dx (0 y 1) 0 ab ab
1
1.10 (2/2)
(2)由联合概率密度可得边缘概率密度为
f X ( x)


因此，条件概率密度为
2(ax by ) 2ax b f ( x, y )dy dy (0 x 1) 0 ab ab
(1) E (Y | X x) (0 x a) 解： 条件概率密度 (2) E (Y )
1 fY | X ( y | x ) ( x y a) ax xa 由均匀分布的均值性质得 E (Y | X ) 2 由条件均值得到边缘均值为 E (Y ) E (Y | x) f X ( x)dx