第九章边界层理论9-1设长为L ，宽为b 的平板，其边界层中层流流动速度分布为δ//0y U u =。
试求边界层的厚度分布()x δ以及平板的摩擦阻力系数。
答：（1）求边界层的厚度分布()x δ：边界层的动量损失厚度为：δδδδδδδθδδδδ6131211102200000=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰⎰⎰dy y dy y dy y y dy U u U u ， 壁面剪切应力0τ为：δμμτ000U y u y =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂==。
将θ和0τ代入平板层流边界层动量积分方程中：20U dx d ρτθ= 得到：δνδμρδ0020161U U U dx d =⋅=， 整理得到：dx U d 06νδδ= 对上式两端同时积分可得：C x U +=02621νδ 式中C 为积分常数。
将边界层前缘边界条件0=x 时0=δ代入上式，可得0=C ；因此：x U 0212νδ= x x U x Re 32320==νδ（2）求平板的摩擦阻力系数：由动量积分方程可得平板表面摩擦剪切应力为：dxd U dx d U δρθρτ2020061==， 由于： 032U xνδ=，两端同时对x 求导得到：21021032132--⋅=⋅⋅=x U x U dx d ννδ， 代回到0τ的表达式中，得到：xU x U U x U U dx d U Re 1636363612002021020200ρνρνρδρτ==⋅==- 因此局部摩擦阻力系数为：x x U C Re 1578.0Re 13321/200=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛=ρττ； 总摩擦阻力系数为：⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰Lb U dx C Lf 200021/ρτ 由于：L L L L U L U L U dx x U U dx Re 13333632002002102000ρνρνρτ===⎰⎰-， 因此：L L L f b b Lb U L U C Re 155.1Re 1332211Re 1332020=⋅=⋅=ρρ。
9-2一平板长为5m ，宽为0.5m ，以速度1m/s 在水中运动。
试分别按平板纵向和横向运动时，计算平板的摩擦阻力。
答：取水的运动粘性系数610145.1-⨯=ν（m 2/s ），临界雷诺数5105Re ⨯=cr ，则转捩点的位置为：573.00.110145.1105Re 65=⨯⨯⨯==-U x cr cr ν（m ）， 因此可知纵向运动时为混合边界层，横向运动时为层流边界层。
（1）纵向运动：661037.410145.151Re ⨯=⨯⨯==-νULL ， 摩擦阻力系数为： ()333511009.31039.01048.3Re 1700Re 074.0---⨯=⨯-⨯=-=L L f C ， 则平板双侧摩擦阻力为：725.75.051100.11009.32122332=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-S U C D f f ρ（N ）。
（2）横向运动： 561037.410145.15.01Re ⨯=⨯⨯==-νUBB ， 摩擦阻力系数为：()3211021.2Re 46.1-⨯==B f C ，则平板双侧摩擦阻力为：525.55.051100.11021.22122332=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-S U C D ff ρ（N ）。
9-3长10m 的平板，水的速流为0.5m/s ，试决定平板边界层的流动状态。
如为混合边界，则转捩点在什么地方？ 设%5/≤L x cr 时称为湍流边界层，试分别决定这一平板为层流边界层和湍流边界层时，水的流速应为多少？答：（1）边界层流态：661037.410145.15.010Re ⨯=⨯⨯==-νULL ，显然5105Re Re ⨯=>cr L ，为混合边界层。
（2）转捩点位置：145.15.010145.1105Re 65=⨯⨯⨯==-U x cr cr ν（m ）。
（3）平板为层流流动时：设尾缘处速度为1U ，则：cr L U Re 1=ν，057.01010145.1105Re 651=⨯⨯⨯==-L U cr ν（m/s ）。
（4）平板为湍流流动时：设L x cr %5=处速度为2U ，则：cr crx U Re 2=ν，145.105.01010145.1105Re 652=⨯⨯⨯⨯==-cr cr x U ν（m/s ）。
9-4 一平板置于流速为7.2（m/s ）的空气中，试分别计算距离前缘0.3m 、0.6m 、1.2m 、2.4m 处的边界层厚度。
答：取临界雷诺数5105Re ⨯=cr ，则转捩点位置是： 01.12.71045.1105Re 55=⨯⨯⨯==-U x cr cr ν（m ）。
（1）3.0=x （m ）处为层流边界层：00426.02.73.01045.148.548.55=⨯⨯⨯==-U xνδ（m ）。
（2）6.0=x （m ）处仍然是层流边界层：00602.02.76.01045.148.548.55=⨯⨯⨯==-U xνδ（m ）。
（3）2.1=x （m ）处为湍流边界层：551056.91045.12.72.1Re ⨯=⨯⨯=-x ，()0311.01056.92.137.0Re 37.051551=⨯⨯==x x δ（m ）。
（4）4.2=x （m ）处也是湍流边界层：6510193.11045.12.74.2Re ⨯=⨯⨯=-x ，()0541.010193.14.237.0Re 37.051651=⨯⨯==x x δ（m ）。
9-5 平板长为10=L m ，宽为2=B m ，设水流沿平板表面并垂直板的长度，流速分别为：（1）0.01145m/s ；（2）1.6m/s ；（3）6m/s 。
试分别计算平板的摩擦阻力。
答：（1）01145.0=U （m/s ）时：546105Re 10210145.1201145.0Re ⨯=<⨯=⨯⨯==-cr B UB ν，流动状态为层流，因此摩擦阻力系数为： 2410032.110246.1Re 46.1-⨯=⨯==B f C ， 平板双侧摩擦阻力为：()027.021001145.0100.110032.12122322=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-S U C D f f ρ（N ）。
（2）6.1=U （m/s ）时： 566105Re 10795.210145.126.1Re ⨯=>⨯=⨯⨯==-cr B UBν，流动状态为混合型，因此摩擦阻力系数为：333511019.31061.01080.3Re 1700Re 074.0---⨯=⨯-⨯=-=BB fC ， 平板双侧摩擦阻力为：()33.1632106.1100.11019.32122332=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-S U C D f f ρ（N ）。
（3）6=U （m/s ）时：095.00.610145.1105Re 65=⨯⨯⨯==-U x cr cr ν（m ），%5%77.4/<=B x cr ，可以认为流动状态为湍流。
7610048.110145.126Re ⨯=⨯⨯==-νUBB ， 摩擦阻力系数为：3511092.2Re 074.0-⨯==Bf C ， 平板双侧摩擦阻力为：()40.21022106100.11092.22122332=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-S U C D ff ρ（N ）。
9-6 标准状态的空气从两平行平板构成的底边通过，在入口处速度均匀分布，其值为250=u m/s 。
今假定从每个平板的前缘起，湍流边界层向下逐渐发展，边界层内速度剖面和厚度可近似表示为()710//δy u u =，51Re 38.0/-=x x δ（ν/Re Ux x =），式中U 为中心线上的速度，为x 的函数。
设两板相距和3.0=h m ，板宽h B >>（意即边缘影响可以忽略不计），试求从入口至下游5m 处的压力降。
其中51032.1-⨯=ν（m ²/s ）。
答：（1）计算下游5=x m 处的边界层厚度δ：首先取0u U =，6501047.91032.1525/Re ⨯=⨯⨯==-νx u x ，则边界层厚度为： ()0765.01047.9538.0Re 38.01651=⨯⨯⨯==--x x δ（m ）， 可见，15.02=<h δ（m ），两平板之间中心线上的流速U ，没有受到边界层发展的影响，可以认为0u U =。
（2）计算下游5=x m 处的边界层动量损失厚度θ：δδδθδδ7271171071000=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰dy y y dy u u u u 。
（3）计算50≤≤x m 平板间的摩擦阻力D ：根据动量损失厚度的性质可知，两平板上的摩擦阻力为：δρδρθρ20202036172722u u u D ===。
（4）计算入口和出口的动量：显然入口动量为h u K 200ρ=。
设出口动量为1K ，则有：()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎰δδρρ020212/2h u dy u K 其中：δρδρρρδδδ2007220020200297u dy y u dy u u u dy u =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰⎰ 所以：⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=δρδρδδρ94922229722020201h u h u h u K （5）计算入口和出口的压力差：设入口处压力为0p ，出口处压力为1p ，则根据动量定理：0110K K D h p h p -=--()h u h h u h D K K h p p δρδδρ202010013615)36194(11=-+-=--=-，将各物理量数值代入得到：52320011064.63.00765.025100.136153615⨯=⨯⨯⨯⨯==-h u p p δρ（Pa ）。