等分圆周的分类
等分圆周是尺规作图的一小部分的内容，把一个圆周分成n 等份，就可以作出圆内接或外切正n边形，即有趣又实用的几何作图问题。
等分圆周分成两大类的作图法：一类是能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，例如：二等分圆周、三等分圆周、四等分圆周、五等分圆周、六等分圆周、八等分圆周、十等分圆周、十二等分圆周、十七等分圆周等等；二类是不能用尺规准备作出等分圆周的问题，即用尺规等分圆周的近似作图的问题，有四种方法能近似作出等分圆周，例如：1、莱纳基法；2、陀因皮耶法；3、改良法；4、对称、对应中心投影法等等。
根据自己在读大专时，已经学习过几何作图这本书，对这本书里面的内容也掌握地比较好，再加上自己对作用也比较感兴趣，另外在这学期，自己也学习本科开设的初等几何研究的课程。
所以自己对一些等分圆周的作图还是掌握地比较好，现在介绍自己学习过的等分圆周的作图。
一、能用尺规准确作出一些等分圆周的问题，而且这些作法的正确性能用平面几何去证明。
1、二等分圆周的尺规作图
例1、已知：一个圆。
B A
求作：圆的二等分。
作法：(1)作圆O；
(2)作圆的直径A B；
证明：因为角A O B为180°，所以A、B是圆O的二等分点。
2、三等分圆周的尺规作图
例2、已知：一个圆。
A
求作：圆的三等分。
作法：(1)作圆的直径A D；
(2)以D为圆心、O D为半径作圆，交圆于B、C两点；
(3)连结A B、A C、B C；则三角形A B C为所求作圆的内接正三角形，即A、B、C圆的三等分。
证明：连结C O、C D,由作图可知圆O和圆D的半径相等，从而有O C=O D=C D=1/2A D,因为三角形是圆O的内接三角形，A D是圆O的直径，所以三角形是直角三角形，所以角C A D=30°；同理：角B A D=30°，所以角B A C=60°；又因为A D是圆O和圆D两圆的圆心连线，C B是圆O和圆D的公共弦。
所以A D垂直平分C B；所以A B=A C;所以三角形是等边三角形，即把圆三等分。
3、四等分圆周的尺规作图
例3、已知：一个圆。
D
B
求作：圆的四等分。
作法：在二等分圆周的基础上，再把每一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便四等分圆周了。
4、五等分圆周的尺规作图
例4、已知：一个圆。
Y
Z
X
求作：圆的五等分。
作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径A Z、X Y；
(2)作出半径O Y的中点M，以M为圆心、M A为半径画弧，交O X于N;
(3)以A为圆心、A N为半径画弧，交弧A X于E;
(4)连结A E;则弧A E为圆O的一段五等分弧，角A O E是一个圆角的五分之一。
证明：设圆的半径为R，在直角三角形A O N中，由上述的物
边形作图可知：A N平方=A O平方=O N平方=A O平方+(A M-O M)平方；而A O=R,O M=R/2,A M=[R平方+(R/2)平方]开根号，所以A N=1/2根号[10-2根号5]R.又因为A N=A E,所以A E=A N=1/2根号[10-2根号5]R是半径为R的圆内接正五边形的边长，即把圆五等分。
5、六等分圆周的尺规作图
例5、已知：一个圆。
求作：圆的六等分。
作法：(1)作圆O及其直径A D；
(2)分别以A、D为圆心、以圆O为半径O A为半径画弧交圆O于B、F、C、E四点；
(3)依次连结A B、B C、C D、D E、E F、F A；则六边形A B C D E F 为所求作圆的内接六边形，即A、B、C、D、E、F圆的六等分。
证明:连结O B、O C、O E、O F，因为A B=O A=A B,所以角A O B=60°，同理:角D O E=角C O D=角A O F=60°。
因为角A O D=180°，所以角
B O C=角E O F=60°。
所以角A O B=角B O C=角E O F=角D O E=角
C O D=60°。
所以A、B、C、D、E、F圆的六等分。
6、八等分圆周的尺规作图
例6、已知：一个圆。
D
C A
求作：圆的八等分。
作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径A C、B D；
(2)分别作角A O B和角A O D的平分以及它们的反向延长线交圆O于E、F和G、H；
(3)则A、E、B、H、C、G、D、F圆的八等分点。
7、十等分圆周的尺规作图
例7、已知：一个圆。
T M
N
J
P
求作：圆的十等分。
作法：在五等分圆周的基础上，再把每一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便十等分圆周了。
8、十二等分圆周的尺规作图
例7、已知：一个圆。
求作：圆的十二等分。
B A
作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径A C、B D；
(2)分别以A、B、C、D为圆心，以O A为半径作弧交圆O的八个点:E、F、G、H、Q、P、M、N；则A、E、M、D、N、H、B、G、P、C、Q、F十二个点便是圆的十二等分点。
9、十七等分圆周的尺规作图
例7、已知：一个圆。
B S
A
求作：圆的十七等分。
作法：(1)作圆O及其两条互相垂直的直径A C、B D；
(2)作点E,使E O=1/4A O,连结C E;
(3)作角C E B的平分线E F;
(4)作角F E B的平分线E G,角C O于P;
(5)作角G E H=45°，交C D于Q；
(6)以C Q为直径作圆，交O B于K；
(7)以P为圆心，P K为半径作圆，交C D于L、M;
(8)分别过M、L作C D的垂线，交圆O于N、R;
(9)作弧N R的中点S,则弧S N为圆O的1/17弧；
(10)以S为起点，线段S N的长度在圆O圆周上顺时针或逆时针截取，便把圆O17等分。
二、不能用尺规准确作出等分圆周的问题，即用尺规近似作出等分圆周，而且这些作法的正确性不能用平面几何去证明。
1、莱纳基法
B A
作法：(1)画出圆O后，以直径A B为一边作出正三角形A B C;
(2)在O A上取A P=2/N A B;
(3)连结C P,交圆O于M;
(4)则弧A M可以近似地作为圆O的一段n等分弧；角M O A可以近似地作为周角的1/n。
2、改良法
B A
作法：(1)画出圆O后，以直径A B为一边作出正三角形A B C;
(2)在A B上取O P=O Q=2/n O A；
(3)连结C P、C Q并延长，使与圆O分别相交于M、N；
(4)则M N可以近似地作为圆O的一段n等分弧；角M O N可以近似地作为周角的1/n。
以上是自己在学习过的基础上总结出基本作图的方法，这些只是有限个的等分圆周，不过只要掌握好一些基本作图的方法，也能作出另一些的等分圆周的，例如，１、要作出十等分圆周，只要作出五等分圆周，再在五等分圆周的基础上，再把每一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便十等分圆周了。
２、要作出二十四等分圆周，只要作出十二等分圆周，再在十二等分圆周的基础上，再把每一等分弧所对的圆心角进行二等分，角的一平分线与圆弧的交点为所求的分点，这样与二等分点便二十四等分圆周了，等等．．．，也可以利用这些作法，作出很多漂亮的图案，例如：窗花图案、五角星、建筑中的瓷砖块等等。
经过学习等分圆周的作法，发现尺规作图很多的妙处！。