注意：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；
②定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
★★★利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
③作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
f (a2 1) f (a 1) 0 的实数 a 的取值范围.
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第五讲 函数单调性与奇偶性的复习 一、必备基础
1.单调函数：增函数，减函数，单调性，单调区间 2.奇偶函数定义：奇偶函数图象性质
3.最值：设函数 y f x 定义域为 I，如果存在实数满足：①对于任意的 x I ，都有 f x M 。②存在 x0 I 使得 f x0 M ，那么称函数 y f x 有最大值为 M。
2、画出反比例函数 y 1 的图象。 x
（1）这个函数的定义域 是什么？ （2）它在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
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一、偶函数
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第四讲 奇偶性
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
画出函数 f (x) x 2 和函数 f (x) | x | 的图象，思考并讨论以下问题：
你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值 (min imum value ）的定义吗？ 例 5、求函数 f (x) x 1 在区间 (0,2) 上的最小值。
x
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例
6、已知函数
y
2（ x 1
x [2,6]
），求函数的最大值和最小值。
3.已知函数的单调性求参数
例：已知函数 y x2 2(a 1)x 2 在区间[2， ) 上递增，求实数 a 的取值范围
4.根据最值求函数
例：函数
f
x
m x2
的定义域为[0，5]，最大值为
7，最小值为
2，则
m
。
5.利用奇偶性求函数解析式
例：若函数 f x 为 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x x3 2x2 1，求 f x 在 R 上的
（6） f（x）=（x－1）·
1 x 1 x 。
例 2、如果奇函数 f (x) 在区间[3，7]上是增函数且最小值为 5，那么在区间[-7，-3]上是（ ）
A、增函数且最小值为-5；
B、增函数且最大值为-5；
C、减函数且最小值为-5；
D、减函数且最大值为-5；
例 3、已知 f (x) ax7 bx5 cx3 dx 5 ，其中 a,b, c, d 为常数，若 f (7) 7 ，求 f (7) 。
③奇函数在定义区间内，单调性相同；偶函数在定义区间内，单调性相反。
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例 1、判断下列函数的奇偶性：
（1） f (x) x 4 ；
（2） f (x) x5 ； （3） f (x) x 1 ； x
（4）
f
(x)
1 x2
；
（5）f（x）=|x+1|－|x－1|；
（4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：
①任取 x1，x2∈D，且 x1<x2； ②作差 f(x1)－f(x2)； ③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差 f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性）。 （5）简单性质 在公共定义域内：
★★★函数单调性的判定，求单调区间
y x2 2x 3
y x2 2 x 3
y x2 5x 4
y
x2
1
2x
y x 1 x
y x a （a 0） x
y x a （a 0） x
二、最大值、最小值 一般地，设函数 f (x) 的定义域为 ，如果存在实数 M 满足：
（1）对于任意的 x ，都有 f (x) M ； （2）存在 x0 ，使得 f (x0 ) =M 。 那么，我们称 M 是函数 y f (x) 的最大值（ max imum value ）。 思考：
例 4、若函数 f (x) x 2 2(a 1)x 2 在区间（ ,4] 上是减函数，那么实数 a 的取值范围是
例 5、已知函数 f (x) 是定义在 ( , ) 上的偶函数. 当 x ( , 0 ) 时， f (x) x x 4 ，
则当 x ( 0, ) 时， f (x)
一奇一偶之积（商）为奇函数。
7. 若函数 y f x 是奇函数且 0 是定义域内的值，则 f 0 0
四、例题分类精讲
1.定义法证明函数的单调性
例 1：证明函数 y x 1 在区间 1, 上为增函数
x
例
2：试讨论函数
f
x
x
ax 2
1
x
1,1
的单调性（其中 a
0）
2.比较函数值的大小
例：设函数 f x 为偶函数，且在 0, 上递增，比较 f 1, f 2, f 3 的大小
2、设函数 f (x) 在（0，2）上是增函数，函数 f (x 2) 是偶函数，则 f (1) 、 f ( 5) 、 f (7 ) 的
2
2
大小关系是
五、家庭作业
1、 判断下列函数的奇偶性：
（1） f (x) 1 x2 ；
（2） f (x) x3 2x .
2、 已知 f (x) 是定义在（-1，1）上的奇函数，且 f (x) 在区间（-1，1）上是增函数，求满足
注意： ①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1<x2 时，总有 f(x1)<f(x2)
（2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间 具有（严格的）单调性，区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。
增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数； 减函数 f (x) 减函数 g(x) 是减函数； 增函数 f (x) 减函数 g(x) 是增函数； 减函数 f (x) 增函数 g(x) 是减函数。
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例 1、下图为函数 y f (x) 在[-5，6]上的图象，根据图象说出函数 y f (x) 的单调区间，以及
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第三讲 单调性与最大（小）值
引例： 按照取值、列表、描点、作图等步骤分别画出一次函数 f (x) x 和二次函数 f (x) x2 的图
象。 一、函数的单调性 单调性（增减性）
（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 任意两个自变量 x1，x2，当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数（减函数）；
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3、奇函数 f (x) 在定义域（-1，1）内是减函数，且 f (1 a) f (1 a 2 ) 0 ，求实数 a 的取值范
围。
四、思考
1、设 f (x) 是 R 上的奇函数，且当 x [0,) 时， f (x) = x(1 3 x ) ，那么当 x (,0] 时， f (x) =
若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。
★★★简单性质：
①图象的对称性质：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 轴对称；
② 奇+设奇f=(奇x)，，奇g(x奇) 的=偶定，义偶域+分偶别=是偶，D1偶, D2
，那么在它们的公共定义域上： 偶=偶
三、拓展探索 ★★试根据单调性定义证明函数 f (x) x2 2x 在区间[1, ) 上是增函数.
四、思考 ★★定义在正实数集上的函数 f (x) 满足条件：
（1） f (2) 1； （2） f (x y) f (x) f ( y) ； （3）当 x y 时，有 f3) 2 的 x 的取值范围 五、家庭作业 1、证明：函数 f (x) x3 1在（— , — ）上是减函数。
（1） f (x) x 2 1 x 有意义;
（2）函数是其定义域到值域的映射;
（3）函数
y
2x(x
N
)
的图象是一直线；（4）函数
y
x2 , x
x
2
,
0 x
0
的图象是抛物线，
其中正确的命题个数是____________
（3） 若 f 2x 5 f (6 7x) 4 ，求 x 的取值范围。
家庭作业：
1.设奇函数 f (x) 的定义域为5,5 ，若当 x [0,5] 时， f (x) 的图象如右图,则不等式 xf (x) 0
的解是 2.若函数 f (x) (k 2)x2 (k 1)x 3 是偶函数，则 f (x) 的递减区间是 3.下列四个命题
在每一单调区间上， 函数 y f (x) 是增函数还是减函数。
y
例 2、证明函数 f (x) 3x 2 在 R 上是增函数。
例 3、证明 f (x) x 1 在区间 (0, ) 上是增函数。 x
例 4、证明函数 f (x) x 1 在 (0,1) 上是减函数。 x
-3 -5
o1 3
x 6
2 都是偶函数 11
二、奇函数