P DC B A 高一新生分班考试数学试卷（含答案）（满分150分，考试时间120分钟）题号 一二三总分得分1．化简=-2a a （） A ．a B ．a -C ．a D ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为（）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tanC 等于（） A ．43B ．35C ．34D ．454．如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P =40°，则∠BAC =（） A ．040B ．080C ．020D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（）A ．21B ．165C ．167D ．43 6．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为().4 C 如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是()8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=0211422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（）个 A ．.1 C 注意：请将选择题的答案填入表格中。
题号 12345678得分评卷人答案(4题图) O C B A P(6题B CF E (3题二、 填空题（每题5分，共50分）9．已知a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则代数式()()2a b a b ab -+-+的值等于10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为m ，3的对面的数字为n ，则方程1x m n +=的解x 满足1+<<k x k ，k 为整数，则k =11．如图，直角梯形纸片ABCD 中，AD y x ()f x 2y x =2()f x x =1x =(1)1f=||)(x x x f =c b a >>0=++c b a 0≠b )()()(c f b f a f ++111C B A ABC-2,1==BC AB 31=AA M 1BB 1MC AM +BM 图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中C ，D ，E 在AB 上，F ，N 在半圆上。
若AB=10，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是 16.如图，CD 为直角ΔABC 斜边AB 上的高，BC 长度为1，DE ⊥AC 。
设ΔADE ，ΔCDB ，ΔABC的周长分别是12,,p p p 。
当12p p p+取最大值时，AB= 17.如图放置的等腰直角∆ABC 薄片（2,900==∠AC ACB ）沿x 轴滚动，点A 的运动 轨迹曲线与x 轴有交点，则在两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为___ 18.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为（用具体数字作答）1234567… … 4… … 486480…注意：请将填空题的答案填在下面的横线上。
三、解答题（共60分）19.（本小题满分12分）如图，抛物线1417452++-=x x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C (3，0). （1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N 。
设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 能否为菱形？请说明理由.得分 评卷人11题图B CE D AF 5 23 3 2 1 2 6 1 甲 乙 丙10题图 oxy C AB题图17ABC M1A 1B 1C 题图1420.（本小题满分12分）函数)(x f ，若自变量x 取值范围内存在0x ，使00)(x x f =成立，则称以00(,)x x 为坐标的点为函数()f x 图像上的不动点。
（)(x f 的定义见第．．．．．12．．题．） （1）若函数bx ax x f ++=3)(有两个关于原点对称的不动点，求a ，b 应满足的条件； （2）在（1）的条件下，若a=2，直线1)1(:-+-=b x a y l 与y 轴、x 轴分别相交于A 、B 两点，在xby =的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2)，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足是Q ，若四边形A BQP 的面积等于2，求P 点的坐标（3）定义在实数集上的函数)(x f ，对任意的x 有)()(x f x f -=-恒成立。
下述命题“若函数)(x f 的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，举反例说明。
21.（本小题满分12分）已知圆Ox 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点 （1）求BAO ∠（2）设圆O 与x 轴的两交点是12,F F 线从1F 射出经反射到2F 经过的路程（3）点P 是x 轴负半轴上一点，从点P 发出的光线经l 反射后与圆O 相切．若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P 的坐标 22.（本小题满分12分）在金融危机中,某钢材公司积压了部分圆钢,经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起. (1)若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根),并使剩余的圆钢尽可能地少,则剩余了多少根圆钢?(2)若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根),且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？ 23.（本小题满分12分）试求出所有正整数a 使得关于x 的二次方程22(21)4(3)0ax a x a +-+-=至少有一个整数根.数学试卷答案一、选择题（每题5分，共40分）三、 填空题（每题5分，共50分） 9．1-10．011．612．1或-113．614．115．2516．217．24+π18．12288 三、解答题（共60分）19．解：（1）易知A(0,1)，B(3,，可得直线AB 的解析式为y =121+x ……………3分（2）)121(1417452+-++-=-==t t t MP NP MN s)30(415452≤≤+-=t t t ………………6分（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN =BC ，此时，有25415452=+-t t ，解得11=t ，22=t 所以当t =1或2时，四边形BCMN 为平行四边形.………………8分①当t =1时，23=MP ，4=NP ，故25=-=MP NP MN ,又在Rt △MPC 中，2522=+=PC MP MC ，故MN =MC ，此时四边形BCMN 为菱形…………10分②当t =2时，2=MP ，29=NP ，故25=-=MP NP MN ,又在Rt △MPC 中，522=+=PC MP MC ，故MN ≠MC ，此时四边形BCMN 不是菱形.…………12分 20.解：（1）由题得x bx ax =++3有两个互为相反数的根0x ，0x -)0(0≠x 即)(0)3(2b x a x b x -≠=--+有两个互为相反数的根0x ，0x -……1分根带入得⎪⎩⎪⎨⎧=---+=--+0))(3(0)3(020020a x b x a x b x ，两式相减得0)3(20=-x b ，3=∴b ……3分方程变为)3(02-≠=-x a x 90≠>∴a a 且…………4分（2）由（1）得3,2==b a ，所以2:+-=x y l ，即A （0,2）B(2,0)……5分设x y 3=上任意一点)2)(3,(>t tt P ，所以)2)(0,(>t t Q ……6分 又因为2-=∆AOB AOQP S S 四边形，所以22221)32(21=⨯⨯-+t t 25=∴t ……8分)56,25(P ∴……………………9分（3）正确①在)()(x f x f -=-令0=x 得)0()0(f f -=所以0)0(=f所以)0,0(为函数的不动点……………………10分 ②设00(,)x x 为函数()f x 图像上的不动点，则00)(x x f = 所以000)()(x x f x f -=-=-，所以),(00x x --也为函数()f x 图像上的不动点……………………12分 21．解：（1）由题|OA|=4，|OB|=334，所以33tan =∠BAO ，所以030=∠BAO 2分 （2）如图（1）由对称性可知，点1F 关于l 的对称点/1F 在过点()4,0A -且倾斜角为060的直线/l 上在/21AF F ∆中，0'160=∠AO F ，3811'1=-==O F AO AF AF ，3162=AF所以/21AF F ∆为直角三角形，02'190=∠F AF 。
所以光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程为3382'12'121==+=+F F MF M F MF M F …………………………6分 （2）如图（2）由对称性可知，点P 关于l 的对称点'P 在过点()4,0A -且倾斜角为060的直线/l 上Q P MQ M P MQ PM ''=+=+，所以路程最短即为/l 上点/P 到切点Q 的切线长最短。
连接',OP OQ ，在'OQP Rt ∆中，只要'OP 最短，由几何知识可知，/P 应为过原点O 且与/l 垂直的直线与/l 的交点，这一点又与点P 关于l 对称，∴260cos 0'===AO AP AP ，故点P 的坐标为()2,0-……………12分22．解：(1)设纵断面层数为n ，则21+即20092)1(≤+n n ，040182≤-+n n 当62=n 此时剩余的圆钢为562)162(622009=+-(2)当纵断面为等腰梯形时，设共堆放n)1(.....)2()1(=-+++++++n x x x x 即4177220092)12(⨯⨯⨯=⨯=-+n x n ，……………………6分因1-n 与n 的奇偶性不同，所以12-+n x 与n 的奇偶性也不同，且12-+<n x n ，从而由上述等式得：⎩⎨⎧=-+=574127n x n 或⎩⎨⎧=-+=2871214n x n 或⎩⎨⎧=-+=981241n x n 或⎩⎨⎧=-+=821249n x n ，所以共有4种方案可供选择。