2019年贵州省贵阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设设集合A ={1，2，3}，B ={x |x 2-2x +m =0}，若A ∩B ={2}，则B =（ ）A. {0}B. {2}C. {1}D. {0,2} 2. 复数z =2+ai （a ∈R ）的共轭复数为z −，若z •z −=5，则a =（ ）A. ±1B. ±3C. 1或3D. −1或−3 3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ）A. y =x 3B. y =|x −1|C. y =|x|−1D. y =2x 4. 已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d =（ ）A. 6B. −6C. −2D. 45. 若双曲线x 2a2-y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y =±x ，则双曲线的离心率为（ ） A. √3B. 2C. √5D. √26. 设a =log 32，b =log 23，c =512，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a >c >bB. b >c >aC. c >b >aD. c >a >b7. 执行如图的程序框图，如果输出的S =3，则输入的t =（ ）A. −1B. −3C. 1或3D. 1或−38. 平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =3，AC =4，则BD =（ ）A. 4B. √10C. √19D. √79. 等比数列{a n }的前n 项和S n =a •2n +1（n ∈N *），其中a 是常数，则a =（ ）A. −2B. −1C. 1D. 210. 已知平面α⊥平面β，α∩β=l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A. AB//m B. AC ⊥m C. AB//βD. AC ⊥β11. 已知点F 1，F 2分别是椭圆E ：x 225+y 29=1的左、右焦点，P 为E 上一点，直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线，过点F 2作l 的垂线，交F 1P 的延长线于M ，则|F 1M |=（ ）A. 10B. 8C. 6D. 412. 已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）=f （a -x ），若函数y =|x 2-ax -5|与y =f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），且∑x i m i=1=2m ，则a =（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 向量i ⃗，j ⃗是相互垂直的单位向量，若向量a ⃗⃗=2i ⃗+3j ⃗，b ⃗⃗=i ⃗-m j ⃗（m ∈R ），a ⃗⃗•b ⃗⃗=1，则m =______．14. 曲线y =xe x +x +1在点（0，1）处的切线方程为______．15. 三棱锥S -ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA =3，SB =4，SC =5，其顶点都在球O 的球面上，则球O的表面积为______．16. 已知直线l ：x +y -6=0，过直线上一点P 作圆x 2+y 2=4的切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最小值为______，此时四边形PAOB 外接圆的方程为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b cos C +c sin B ．（1）求B ；（2）求y =sin A -√22sin C 的取值范围．18. 运动健康已成为大家越来越关心的话题，某公司开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK 和点赞．现从张华的好友中随机选取40人（男、女各20人），记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如表：步数 性别 0～2000 2001～5000 5001～8000 8001～10000 ＞10000 男 1 2 4 7 6 女3962（1）若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下列2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异？积极型 懈怠型 总计男 女 总计（2）在张华的这40位好友中，从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人，设抽取的女性有X 人，求X =1时的概率． 参考公式与数据： P （K 2≥k 0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ．19. 如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =2，点M 为DC 的中点，将△ADM 沿AM 折起，使得平面△ADM ⊥平面ABCM ． （1）求证：AD ⊥BM ；（2）求点C 到平面BDM 的距离．20. 如图，已知直线L ：x =my +1过椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F ，且交椭圆C 于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线G ；x =a 2上的射影依次为点D 、K 、E ，若抛物线x 2=4√3y 的焦点为椭圆C 的顶点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线L 交y 轴于点M ，MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ2BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，当M 变化时，求λ1+λ2的值．21. 已知函数f （x ）=ax 2+（a -2）ln x +1（a ∈R ）．（1）若函数在点（1，f （1））处的切线平行于直线y =4x +3，求a 的值； （2）令c （x ）=f （x ）+（3-a ）ln x +2a ，讨论c （x ）的单调性；（3）a =1时，函数y =f （x ）图象上的所有点都落在区域{y ≥tx −x 2x>0内，求实数t 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =2+2sinαx=2cosα（α为参数），曲线C 2的方程为（x -1）2+（y -1）2=2．（1）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）直线θ=β（0＜β＜π）与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |的最大值．23. 已知函数f （x ）=|2x +1|-|2x -3|，g （x ）=|x +1|+|x -a |．（l ）求f （x ）≥1的解集；（2）若对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g （s ）≥f （t ）．求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵A∩B={2}；∴2∈B；∴4-4+m=0；∴m=0；∴B={x|x2-2x=0}={0，2}．故选：D．根据A∩B={2}即可得出2∈B，从而可求出m=0，解方程x2-2x=0得，x=0或2，从而得出B={0，2}．考查交集的定义及运算，描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系．2.【答案】A【解析】解：∵z=2+ai，∴z•=，即a=±1．故选：A．由已知结合列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=x3为幂函数，是奇函数，不符合题意，对于B，y=|x-1|，不是奇函数，不符合题意；对于C，y=|x|-1=，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数，符合题意；对于D，y=2x，为指数函数，不是偶函数，不符合题意；故选：C．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：∵{a n}为递增的等差数列，且a4+a7=2，a5•a6=-8，∴a5+a6=2，∴a5，a6是方程x2-2x-8=0的两个根，且a5＜a6，∴a5=-2，a6=4，∴d=a6-a5=6，故选：A．a5，a6是方程x2-2x-8=0的两个根，且a5＜a6，求解方程得答案．本题考查等差数列的通项公式，考查方程的解法，是基础的计算题．5.【答案】D【解析】解：由题意，=1∴双曲线的离心率e===．故选：D．根据双曲线的渐近线方程，可得a，b的关系，利用e==，即可求得结论．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：log32＜log33=1，1=log22＜log23＜log24=2，；∴c＞b＞a．故选：C．可以得出，从而得出a，b，c的大小关系．考查对数函数、幂函数的单调性，以及增函数的定义，对数的运算．7.【答案】C【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=的值，由于输出的S=3，则当t≥1时，可得：4t-t2=3，解得：t=3，或1，当t＜1时，可得：3t=3，解得t=1（舍去）．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=的值，根据S的值，分类讨论即可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：如图所示：平行四边形ABCD中，AB=2，AD=3，AC=4，则：在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=4，利用余弦定理：=，故：，则：BD2=AD2+AB2-2•AD•AB•cos∠DAB，解得：BD=．故选：B．直接利用余弦定理求出，进一步利用余弦定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：余弦定理正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.【答案】B【解析】解：n=1时，a1=S1=2a+1．n≥2时，a n=S n-S n-1=a•2n+1-（a•2n-1+1），化为：a n=a•2n-1，对于上式n=1时也成立，∴2a+1=a，解得a=-1．故选：B．n=1时，a1=S1=2a+1．n≥2时，a n=S n-S n-1，对于上式n=1时也成立，解得a．本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：如图所示AB∥l∥m；A对AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B对AB∥l⇒AB∥β，C对对于D，虽然AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直；故错．故选：D．利用图形可得AB∥l∥m；A对再由AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；B 对又AB∥l⇒AB∥β，C对AC⊥l，但AC不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，故不一定垂直，所以D不一定成立．高考考点：线面平行、线面垂直的有关知识及应用易错点：对有关定理理解不到位而出错．全品备考提示：线面平行、线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点，要重点掌握11.【答案】A【解析】解：如图，由直线1为∠F1PF2的外角平分线，l⊥F2M，可得|PM|=|PF2|，而椭圆E ：=1的a=5，2a=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|=10，故选：A．由题意可得三角形PMF2为等腰三角形，|PM|=|PF2|，运用椭圆的定义，计算可得所求值．本题考查椭圆的定义，以及等腰三角形的性质，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵f（x）=f（a-x），∴f（x）的图象关于直线x=对称，又y=|x2-ax-5|的图象关于直线x=对称，当m为偶数时，两图象的交点两两关于直线x=2对称，∴x1+x2+x3+…+x m =•a=2m，解得a=4．当m奇数时，两图象的交点有m-1个两两对称，另一个交点在对称轴上，∴x1+x2+x3+…+x m =a•+=2m．解得a=4．故选：D．求出f（x）的对称轴，y=|x2-ax-5|的图象的对称轴，根据两图象的对称关系，求和，解方程可得所求值．本题考查了函数的图象对称关系，函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．13.【答案】13【解析】解：∵•=（2+3）•（-m）=22-3m2+（3-2m）•=2-3m又已知•=1，所以2-3m=1，解得m=故答案为：．利用向量数量积的性质运算得到•，与已知相等，列式解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．14.【答案】2x-y+1=0【解析】解：y=xe x+x+1的导数为y′=（1+x）e x+1，可得曲线在点（0，1）处的切线斜率为1+1=2，则曲线在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1．故答案为：2x-y+1=0．求得函数y的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线方程．本题考查导数的运用：求切线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】50π【解析】解：由SA，SB，SC两两垂直，联想长方体，利用长方体外接球直径为其体对角线长可得球直径为=，∴=50π，故答案为：50π．利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解．此题考查了三棱锥外接球问题，难度不大．16.【答案】2√14（x-32）2+（y-32）2=92【解析】解：圆x2+y2=4的半径为2，圆心为（0，0），由切线性质可知OA⊥AP，∴AP=，又△OAP 的面积S==，∴当OP 取得最小值时，△OAP 的面积取得最小值，又OP 的最小值为O 到直线l 的距离d==3．∴四边形PAOB 面积的最小值为：2S △OAP =2=2．此时，四边形PAOB 外接圆直径为d=3．∵OP ⊥直线l ，∴直线OP 的方程为x-y=0． 联立方程组，解得P （3，3），∴OP 的中点为（，），∴四边形PAOB 外接圆的方程为（x-）2+（y-）2=．故答案为：2，（x-）2+（y-）2=．求出O 到直线l 的最短距离即可得出四边形的最小面积，求出此时P 的坐标，得出OP 的中点坐标，从而得出外接圆方程．本题考查了圆的切线的性质，直线与圆的位置关系，属于中档题． 17.【答案】（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理得：sin A =sin B cos C +sin C sin B ，即sin （B +C ）=sin B cos C +sin C sin B ， 故 cos B sin C =sin C sin B ， 因为 sin C ≠0， 所以 cos B =sin B ， 因为 0＜B ＜π，所以 B =π4；………………………………………………………（6分） （2）因为B =π4， 所以y =sin A -√22sin C =sin （3π4-C ）-√22sin C =sin 3π4cos C -cos 3π4sin C =√22cos C ，又因为0＜C ＜3π4，且y =√22cos C 在（0，3π4）上单调递减，所以y =sin A -√22sin C 的取值范围是（-12，√22）．………………………………（12分）【解析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosBsinC=sinCsinB ，由sinC≠0，可求cosB=sinB ，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值．（2）由B=，利用三角函数恒等变换的应用可求y=cosC ，由0＜C ＜，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．积极型 懈怠型 总计 男 13 7 20 女 8 12 20总计2119K 2=40(13×12−7×8)2(13+7)(8+12)(13+8)(7+12)=100399≈2.506＜2.706，因此，没有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异；………………………（6分）（2）该天行走的步数不超过5000步的人有3男2女共6人，设男生为A 、B 、C ，女生为a ，b ，c ，A B C a b c A ABAC Aa Ab Ac B BCBa Bb Bc C CaCb Cc a abac b bcc=1”包含的基本事件个数N =9， 所以P （X =1）=915=35………………（12分） 【解析】（1）先得2×2列联表，再根据列联表计算K 2的观测值，并结合临界值表可得； （2）用列举法列举出所有基本事件的种数以及x=1包含的基本事件后根据古典概型的概率公式可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】（1）证明：取AM 中点O ，连结DO ，因为平面ADM ⊥平面ABCM ，AD =DM ，所以OD ⊥平面ABCM ，DO ⊥BM ， 易知AM ⊥BM ，所以MB ⊥平面ADM ，所以BM⊥AD；………………………………………………………（6分）（2）解：∵在矩形ADCB中，AB=2BC=2，点M为DC的中点，∴DM=CM=12CD=1，BM=AM=√AD2+MD2=√2，DO=12AM=√22，由（1）知MB⊥平面ADM，DM⊂平面ADM，∴BM⊥DM，S△BDM=12×BM×DM=12×√2×1=√22．，又∵DO⊥平面ABCM，∴V D−BCM=13S△BCM×DO=13×12×1×1×√22=√212．，记点C到平面BDM的距离为h，∴V C-BDM═13S△BDM⋅ℎ=13×√22ℎ，又∵v D-BCM=V C-BDM∴1 3×√22ℎ=√212，解得h=12，∴点C到平面BDM的距离为12．………………………………………………………（12分）【解析】（1）取AM中点O，连结DO，可得DO⊥BM，AM⊥BM，MB⊥平面ADM，即可得BM⊥AD；（2）×=．，记点C到平面BDM的距离为h，V C-BDM═，又v D-BCM=V C-BDM，即可得点C到平面BDM的距离．本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，点线面距离的求法，考查直线与平面的位置关系，考查空间想象能力以及计算能力．20.【答案】解：（1）抛物线x2=4√3y的焦点为（0，√3），且为椭圆C的上顶点∴b=√3，∴b2=3，又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4．∴椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线x=my+1代入椭圆方程，整理可得：（3m2+4）y2+6my-9=0，故△=144（m2+1）＞0．∴y1+y2=-6m3m2+4，y1y2=-93m2+4∴1y1+1y2=2m3∵MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ1AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗，∴（x1，y1+1m）=λ1（1-x1，-y1）．∴λ1=-1-1my1．同理λ2=-1-1my2∴λ1+λ2=-2-1m（1y1+1y2）=-83．【解析】（1）求出抛物线的焦点，可得b的值，结合F的坐标，即可确定椭圆的方程；（2）直线x=my+1代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可求λ1+λ2的值．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交，考查向量知识的运用，联立方程组，利用韦达定理解题是解题的关键．21.【答案】解：函数的定义域为（0，+∞），（1）f′（x）=2ax+a−2x，由题意f′（1）=4，所以2a+（a-2）=4，解之得：a=2………………………………………………………………（4分）（2）由已知c（x）=ax2+ln x+2a+1，则c′（x）2ax+1x=2ax2+1x，当a≥0，则当x∈（0，+∞）时，有c′（x）＞0，故c（x）在x∈（0，+∞）上单调递增；当a＜0，则当x∈（0，√−12a）时有c′（x）＞0，当x∈（√−12a，+∞））时有c′（x）＜0，故c（x）在（0，√−12a）单调递增，在（√−12a，+∞）单调递减；……………（8分）（3）a=1时，f（x）=x2-ln x+1，即当x＞0时恒有x2-ln x+1≥tx-x2，又x∈（0，+∞），整理得：t≤2x-lnxx+1x，令g（x）=2x-lnxx+1x，则g′（x）=2-1−lnxx2-1x2=2x2+lnx−2x2，令h（x）=2x2+ln x-2，由h ′（x ）=4x +1x ＞0恒成立，即h （x ）=2x 2+ln x -2在（0，+∞）上单调递增， 且h （1）=0，则g ′（1）=0，所以x ∈（0，1）时h （x ）＜0，x ∈（1，+∞）时h （x ）＞0， 所以x ∈（0，1）时g ′（x ）＜0，此时y =g （x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时g ′（x ）＞0，此时y =g （x ）单调递增， 所以g （x ）≥g （1）=3，所以t ≤3；………………………………………………………………（12分） 【解析】（1）求出函数的导数，得到关于a 的方程，求出a 的值即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间即可； （3）代入a 的值，整理得：t≤2x -+，令g （x ）=2x-+，根据函数的单调性求出t 的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（1）由曲线C 1的参数方程为{y =2+2sinαx=2cosα（α为参数），转换为直角坐标方程为：x 2+（y -2）2=4．① 将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入①， 化简得：ρ=4sinθ，即C 1的极坐标方程为ρ=4sinθ；将x =ρcosθ，y =ρsinθ代入C 2的方程（x -1）2+（y -1）2=2， 得ρ=2cosθ+2sinθ， 化简得ρ=2√2sin(θ+π4)，即C 2的极坐标方程为ρ=2√2sin(θ+π4)； （2）由极径的几何意义，|AB |=|ρ1-ρ2|=|4sinβ-2cosβ-2sinβ|=|2√2sin(β−π4)|， 当β=3π4时，|AB|max =2√2，所以：|AB |的最大值为2√2． 【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程进行转化．（2）利用极径对三角函数关系式进行恒等变换，利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 23.【答案】解：（1）∵函数f （x ）=|2x +1|-|2x -3|，故f （x ）≥1，等价于|2x +1|-|2x -3|≥1， 令2x +1=0，解得x =-12， 令2x -3=0，解得x =32，则：不等式等价于：{x ＜−12−2x −1−(3−2x)≥1①， 或{−12≤x ≤322x +1−(3−2x)≥1②， 或{x ＞322x +1−(2x −3)≥1③． 解①求得x ∈∅，解②求得32≥x ≥34，解③求得x ＞32． 综上可得，不等式的解集为{x |x ≥34}．（2）若对任意的t ∈R ，s ∈R，都有g （s ）≥f （t ），可得g （x ）min ≥f （x ）max ， ∵函数f （x ）=|2x +1|-|2x -3|≤|2x +1-2x +3|=4， ∴f （x ）max =4．∵g （x ）=|x +1|+|x -a |≥|x +1-x +a |=|a +1|， 故g （x ）min =|a +1|，∴|a +1|≥4，∴a +1≥4或a +1≤-4， 求得a ≥3或a ≤-5．故所求的a 的范围为{a |a ≥3或a ≤-5}． 【解析】（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论． 直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的t ∈R ，s ∈R ，都有g （s ）≥f （t ），可得g （x ）min ≥f （x ）max ，进一步求出参数的取值范围．本题考查的知识要点：绝对值不等式的解法，零点讨论法的应用，利用恒成立问题求参数的取值范围问题．。