的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈 述于下：
y （3）已知：抛物线的方程为 2 = 2 px ( p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A ，B
两点，且弦 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。
学海无涯
解：由题意可设直线 AB 的方程为 y = k(x − p ) ( ) 将其代入抛物线方程整理得：
x2
− 2 pkx−
p2
=
0, 从而
x1 +
x2
=
2 pk, x1 x2
=Байду номын сангаас
−
p2 ，
弦长为：| AB |=
1+ k2
(x1+
x2)2
−
4
x1
x2
=
2p
(cos
)2
= 0,cos = 1,| AB |= 2p ，即为通径。
y x 而
2
= −2 px 与（1）的结果一样，
2 = −2 py 与（2）的结果一样，但是（1）与（2）
x (2)已知：抛物线的方程为 2 = 2 py( p 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B 两点，
直线 AB 倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 ( , ),( , ) ，斜率为 k (k = tan ) ，而焦点坐标为 (0, p ) ，
11
22
2
故 AB 的方程为 y − p = kx，将其代入抛物线的方程整理得： 2
y 而 2 = −2 px 与（3）的结果一样
x 同理：（4）已知：抛物线的方程为 2 = 2 py( p 0) ，过焦点的弦 AB 交抛物线于 A,B
两点，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，求弦 AB 的长。
x y x y 解：设 A,B 的坐标为 ( , ),( , ) ，若倾斜角为 ，斜率为 k，
p
k2 + k2
2
p
，
x1
x2
=
p2
4
| AB |= 1 + k 2 ( x1+ x 2)2 − 4 x1 x2
=
1 + (tan )2
(
p
k
2
+
2
2
p)
−
p2 k 4
k4
=
2p
(sin )2
而
sin
=
sin
, sin(
−)
=
sin
，故 |
AB
|=
2p
(sin
)2
；
当 = 时， sin = 1，|AB|=2p.即为通径。 2
当倾斜角 ，则 = − , cos = cos( − ) = sin ；
2
2
2
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当倾斜角 , 则 = + , cos = cos( + ) = −sin
2
2
2
所以| AB |= 2 p 恒成立。
(sin )2
当 = 时， sin = 1，|AB|=2p.即为通径。 2
11
22
则 k = tan ，而焦点坐标为 (0, p ) ， 2
故 AB 的方程为 y − p = kx，将其代入抛物线的方程整理得： 2
x2
− 2 pkx−
p2
=
0, 从而
x1 +
x2
=
2 pk, x1 x2
=
−
p2 ，
弦长为：| AB |=
1+ k2
(x1+
x2)2
−
4
x1
x2
=
2p
(cos
)2
学海无涯
关于抛物线焦点弦的弦长公式
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍 了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
y (1)已知：抛物线的方程为 2 = 2 px ( p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物线于 A B 两点，
且弦 AB 的倾斜角为 ，求弦 AB 的长。
解：由题意可设直线 AB 的方程为 y = k(x − p ) ( ) 将其代入抛物线方程整理得：
2
2
4 k 2 x2 − (4 p k 2 + 8 p)x + p2 k 2 = 0 ，且 k = tan
x y x y 设 A,B 两点的坐标为 (
,
1
),( ,
1
2
)
2
则： x1+ x2 =
p
k2 + k2
2
p
，
x1
x2
=
p2
4
| AB |=
1+ k2
(x1+
x 2)2
−
4
x1
x2
=
2p
(sin
)2
当 = 时，斜率不存在， sin = 1，|AB|=2p.即为通径 2
而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的 弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。
2
2
4k2 x2 − (4 p k2 + 8 p)x + p2 k2 = 0 ，
若倾斜角 ，则 = , k = tan = tan ； 2
若倾斜角 , 则 = −, k = tan = tan( −) 。 2
x y x y 设 A,B 两点的坐标为 (
,
1
), (
1
,
2
)
2
则： x1+ x2 =
x 而 2 = −2 py 与（4）的结果一样。
故只要直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角为 ，那么不论抛物线的开口向上，向下，向 左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即| AB |= 2 p 。这个公式
(sin )2
包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应 用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。