抛物线的焦点与准线（高中知识有关）九上P54、活动2（新书）一、高中知识：文科选修（1-1）P53-55；理科选修（1-1）P56-59 抛物线的几个定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线L 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线L 叫做抛物线的准线.公式：抛物线c bx ax y ++=2的焦点为)414,2(2a b ac a b +--，准线为ab ac y 4142--= 二、试题：1、（2010黄冈市，25，15分）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O ．过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）．（1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由．2、2012年山东潍坊市24．(本题满分11分)如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (－2，0)、B (2，0)、C (0，－1)三点，过坐标原点0的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点．分别过点C ,D (0，－2)作平行于x 轴的直线21l l 、．(1)求抛物线对应二次函数的解析式； (2)求证以ON 为直径的圆与直线1l 相切；(3)求线段MN 的长(用k 表示)，并证明M 、N 两点到直线2l 的距离之和等于线段MN 的长．3、湖北省黄冈市2011年中考数学试卷y =14x 2交于M （x 1，y 1）和N （x 2，y 2）两点（其中x 1＜0，x 2＞0）．（1）求b 的值． （2）求x 1?x 2的值．（3）分别过M ，N 作直线l ：y=﹣1的垂线，垂足分别是 M 1和N 1．判断△M 1FN 1的形状，并证明你的结论．（4）对于过点F 的任意直线MN ，是否存在一条定直线 m ，使m 与以MN 为直径的圆相切．如果有，请求出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由．＝；（3）(3分)若射线NM 交x 轴于点P ，且PA ×PB ＝1009，求点M 的坐标．抛物线的焦点与准线（高中知识有关）答案1、（2010黄冈市，25，15分）【分析】．（1）抛物线的顶点为C （1，1），可设解析式为y ＝a （x －1）2+1，又因抛物线过原点，可得a ＝－1，所以y ＝－（x －1）2+1，化简得y＝－x 2＋2x ，即可求字母a ，b ，c 的值；（2）由FM ＝FP ，PM 与直线54y =垂直，可得53344y -=-，∴14y =，代入y ＝－x 2＋2x ，解得31x =±P 坐标为（3114）或（31-14），所以分两种情况，通过计算可得△PFM 为正三角形；（3）由PM ＝PN可得54y -()()221x y t -+-，整理得，23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【答案】．（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）∵FM ＝FP ，PM 与直线54y =垂直，∴533444y -=-，∴14y =， 把14y =代入y ＝－x 2＋2x ，解得312x =±∴点P 坐标为（312+，14）或（312-，14），当点P 坐标为（312+，14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，当点P 坐标为（312-，14）时，MP ＝MF ＝PF ＝1，∴△PFM 为正三角形，∴当点P 坐标为（312+，14）或（312-，14）时，△PFM 为正三角形；（3）存在，∵PM ＝PN ，∴ 54y -＝()()221x y t -+-，两边同时平方得，2255162y y -+＝()()221x y t -+-∵y ＝－x 2＋2x ，∴23920216t yt y -+-=，解得134t =，2324t y =-（舍去），故存在点N （1，34），使PM ＝PN 恒成立．【涉及知识点】二次函数，等腰三角形，等边三角形【点评】本题是一道综合性较强的题目，第（1）问较简单，考查大多数学生的能力水平，第（2）问、（3）问较难，解决的关键是利用等腰三角形的性质列出方程，从而求出点的坐标，在第（3）问中要注意解关于t 的字母系数方程，本题有一定的区分度．【推荐指数】★★★★★2、2012年山东潍坊市24．(本题满分ll 分)解：(1)设抛物线对应二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，由⎩⎨⎧+-==-++=c b a cc b a 2401240 解得⎩⎨⎧=-==4110a c b所以1412-=x y ．……3分 (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为点M 、N 在抛物线上，所以,141,141222211-=-=x y x y ，所以x 22=4(y 2+1)； 又ON 2=x 22+y 22=4(y 2+1)+y 22=(y 2+2)2，所以ON =22y +，又因为y 2≥－l ，所以0N =2+y 2．……5分设ON 的中点E ，分别过点N 、E 向直线1l 作垂线，垂足为P 、F ，－.（2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b 值，利用根与系数的关系可以求出x 1?x 2的值．（3）确定M 1，N 1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M 1F 2，N 1F 2，M 1N 12，然后用勾股定理判断三角形的形状．（4）根据题意可知y=﹣1总与该圆相切．． 解答：解：（1）∵直线y=kx+b 过点F （0，1），b=1⑵显然11x x y y =⎧⎨=⎩和22x x y y =⎧⎨=⎩是方程组2114y kx y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩的两组解，解方程组消元得21104x kx --=，依据“根与系数关系”得4x x 21-=. ⑶△M 1FN 1是直角三角形是直角三角形，理由如下：（3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状. （4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置． 4、2010年南通市中考试题（五中月考）22．（本小题满分14分）（1）因为当x =3和x =－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等，故b=0. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧=+=+.04,316c a c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,41c a ∴这条抛物线的解析式为y ＝41x 2-1. 设直线AB 的解析式为y=kx+b ，把A （－4，3）、B （2，0）代入到y=kx+b ，得. ∴22222222)14()14(+=-+=+=m m m GP OG OP ，∴1412+=m OP∵141)2(14122+=---=-=m m y y PH H P ∴OP=PH要使△PDO 的周长最小，因为OD 是定值，所以只要OP+PD 最小，∵OP=PH∴只要PH+PD 最小根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。

”可知，当点D 、P 、H 三点共线时，PH+PD 最小，因此，当点D 、P 、H 三点共线时，△PDO 的周长最小。

5、（2011-2012福州市九上期末考试题）22.解：（1）∵抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是y 轴,∴0b = . ----------------------------------------------1分 ∵抛物线c bx ax y ++=2经过点(2,0)A -、(0,1)B 两点,∴11,4c a ==-,-----------------------------3分∴所求抛物线的解析式为1412+-=x y .---------------------4分（2）设点P 坐标为（p ，1412+-p ），如图,过点P 作PH l ⊥，垂足为H ,∵2PH =-（1412+-p ）=1412+p ，---6分 OP =222)141(+-+p p =1412+p ,----8分 ∴OP PH =.∴直线l 与以点P 为圆心,PO 长为半径的圆相切. --------------------9分D 、E 、F. 连接EG 并延长交DP 的延长线于点K ,∵G 是PQ 的中点,∴易证得EQG KPG ≅△△，∴EQ PK =，-------------------11分由(2)知抛物线1412+-=x y 上任意一点到原点O 的距 离等于该点到直线:2l y =的距离,即,EQ OQ DP OP ==，----------- 12分 ∴ 111()()222FG DK DP PK DP EQ ==+=+ 1()2OP OQ =+，----------13分 ∴只有当点P 、Q 、O 三点共线时，线段PQ 的中点G 到直线l 的距离GF 最小. ∵9PQ =,∴GF ≥4.5，即点G 到直线l 距离的最小值是4.5.---------- 14分 （若用梯形中位线定理求解扣1分）6、（2012四川资阳9分）【答案】解：（1）∵()()2211y=x +x+m=x+2+m 144-，∴顶点坐标为(－2 , m 1-)。

∵顶点在直线y=x+3上，∴－2+3=m 1-，解得m=2。

（2）∵点N 在抛物线上，且点N 的横坐标为a ，∴点N的纵坐标为21a +a+24，即点N (a ,21a +a+24)。

过点F 作FC ⊥NB 于点C ，在Rt △FCN 中，FC =a +2，NC =NB －CB =21a +a 4,∴2222221NF NC FC a a a 24=+=+++（）（）2221a a a 4a 44=++++（）（）。

而22222211NB a a 2a a a 4a 444=++=++++（）（）（），∴NF 2=NB 2，NF =NB 。

AF BF NF NB NFB NBF 由（2）的结论知，MF =MA ，∴∠MAF =∠MFA 。

∵MA ⊥x 轴，NB ⊥x 轴，∴MA ∥NB 。

∴∠AMF +∠BNF =180°。

∵△MAF 和△NFB 的内角总和为360°，∴2∠MAF +2∠NBF =180°，∠MAF +∠NBF =90°。

∵∠MAB +∠NBA =180°，∴∠FBA +∠FAB =90°。

又∵∠FAB +∠MAF =90°，∴∠FBA =∠MAF =∠MFA 。