• 思路 ：利用面积法来证明。 思路2：利用面积法来证明。 • 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角 乙所示， 是 内角∠ 已知：如图 乙所示 内角 的外角 的平分线。 ∠CAF的平分线。 的平分线 • 求证： BA/AC=BD/DC. 求证： • 证明 ：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥ 的延长线于 ； 证明2： ∥⊥BA的延长线于 作 ⊥ 于 ， ∥⊥ 的延长线于F； • ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知） ；（已知 ∠ ；（已知） • ∴ DE=DF； ； • ∵ BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积 ；（等高时 △ △ ；（等高时， 之比等于底之比） 之比等于底之比） • BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积 ；（同高时 同高时， △ △ 之比等于底之比） 之比等于底之比） • ∴ BA/AC=BD/DC
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线， 三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
定理的基本图形： 定理的基本图形： 如图，因为 ∥ ∥ ， 如图，因为AD∥BE∥CF， 所以AB： 所以 ：BC=DE：EF; ： AB：AC=DE：DF； ： ： ； BC：AC=EF：DF ： ： 也可以说AB： 也可以说 ：DE=BC：EF； ： ； AB：DE=AC：DF； ： ： ； BC：EF=AC：DF ： ：
1.在 ABC中,AD是∠ABC的平分线，AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=_______
2.在 ABC中，AD是∠ABC的平分线， AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=_______
三角形外角平分BC中，AD为∠A的外角∠CAE 的平分线，
B
C
D
AB BD 则： = AC CD
• 三角形外角平分线性质定理：如果三 三角形外角平分线性质定理： 角形的外角平分线外分对边成两条线 段，那么这两条线段和相邻的两边应 成比例. 成比例
• 已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中 已知：如图 甲所示 甲所示， 是 中 ∠BAC的外角∠CAF的平分线。 的外角∠ 的平分线。 的外角 的平分线 • 求证： BA/AC=BD/DC 求证： • 思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线 思路 ：作角平分线 的平行线， 的平行线 分线段成比例定理证明。 分线段成比例定理证明。
平行线分线段成比例定理推论: 平行线分线段成比例定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线），所得的对应线段成比例 或两边的延长线）
推论的基本图形: 推论的基本图形
A A D E D A C B C E B D C E
A E B
D F C B
三角形内角平分线定理： 三角形内角平分线定理： A C
• 思路 ：利用面积法来证明。 思路2：利用面积法来证明。 • 已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角 乙所示， 是 已知：如图 乙所示 的内角 的平分线。 ∠BAC的平分线。 的平分线 • 求证： BA/AC=BD/DC 求证： • 证明 ：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； 证明2： 作 ⊥ 于 ， ⊥ 于 ； • ∵ ∠BAD=∠CAD；（已知） ；（已知 ∠ ；（已知） • ∴ DE=DF； ； • ∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC； （等高时，三角 △ △ ； 等高时， 形面积之比等于底之比） 形面积之比等于底之比） • BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时， ；（同高时 △ △ ；（同高时， 三角形面积之比等于底之比） 三角形面积之比等于底之比） • ∴ BA/AC=BD/DC
结论： 使用面积法时， 结论 ： 使用面积法时 ， 要善于从不同的角度 去看三角形的底和高。 在该证法中， 去看三角形的底和高 。 在该证法中 ， 我们看 的面积时， △ BAD和 △ DAC的面积时 ， 先以 和 的面积时 先以BA和 AC作 和 作 而以DF、 为等高 然后以BD和DC为 为等高。 底，而以 、DE为等高。然后以 和 为 而高是同高， 图中并没有画出来。 底 ， 而高是同高 ， 图中并没有画出来 。 你学 会这种变换
B
D
在 ABC中，若AD为∠BAC的 AB BD 平分线，则： = AC CD
• 已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的 已知：如图 甲所示 甲所示， 是 的内角∠ 的内角 的 平分线。 平分线。 • 求证： BA/AC=BD/DC; 求证： • 思路 ：过C作角平分线 的平行线，用平行线分线 思路1： 作角平分线AD的平行线 作角平分线 的平行线， 段成比例定理证明。 段成比例定理证明。