第五章 平面向量第三节 平面向量的数量积一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【广西梧州、崇左两市联考高三（上）摸底】设向量，满足|+|=，||=1，||=2，则•等于（ ） A ．B ．C ．D ．2.【“五个一名校联盟” 高三教学质量监测（一）6】b a ,是两个向量，2,1==b a 且a b a ⊥+)(，则a 与b 的夹角为（ ）A.30 B.60 C.120 D.1503. 【重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ）9.2A -.0B .C 3 D.1524.【·长春调研】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)，若λ为实数，(b ＋λa)⊥c ，则λ的值为( )A ．－311B ．－113C.12D.355.【高考辽宁卷文第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ⋅=，0b c ⋅=，则0a c ⋅=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ∨⌝6.【·北京东城质量检测】已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b)b ，则|c|＝________. A.2 B.22 C.28 D.2167. 【黄冈市高三5月适应性考试】非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则⊿ABC 为( )A.三边均不等的三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰非等边三角形8.【全国普通高等学校招生统一考试理科数学（江西卷）】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β等于（ ）A.23 B. 22 C. 223 D. 4239. 【高考浙江卷文第9题】设θ为两个非零向量a 、b 的夹角，已知对任意实数t ，||t a b +的最小值为1（ ）A.若θ确定，则 ||a 唯一确定B.若θ确定，则 ||b 唯一确定C.若||a 确定，则 θ唯一确定D.若||b 确定，则 θ唯一确定10.【高二暑假作业】设O 为坐标原点，()1,1A ，若点()221,,01,01,x y B x y x OA OB y ⎧+≥⎪⎪≤≤⋅⎨⎪≤≤⎪⎩满足则取得最小值时，点B 的个数是( )A.1B.2C.3D.无数个 11.【高考重庆，理6】若非零向量a ，b 满足|a|=223|b|，且（ab ）⊥（3a+2b ），则a 与b 的夹角为 （ ） A 、4π B 、2π C 、34π D 、π 12.【原创题】对于非零向量,a b ，下列命题中正确的是（ ）. A.a ∥b ⇒a 在b 上的投影为a B.0a b ⋅=0a ⇒=或0b = C.a ⊥b ⇒()2a b a b ⋅=⋅D.a c b c ⋅=⋅⇒a b =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

）13.【黄石二中、鄂南高中、鄂州高中三校高三上学期期中联考文科数学试题】已知向量,a b 的夹角为3π，||2,||1a b ==，则||||a b a b +-的值是_____;14.【高考天津，文13】在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅的值为． 15.【高三六校联考（一）数学（文）】在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则=⋅+⋅CA CP CB CP16.【淮安市高三上学期第一次摸底考试数学试题】如图，已知ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，若向量14AM AB m AC =+⋅，且AM 的终点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【高考名师推荐】设向量（1）若，求x 的值（2）设函数，求f(x)的最大值18.【威海市高三3月模拟】已知向量(cos ,sin )a αα=，(1+cos ,sin )b ββ=-. （1）若3πα=，(0,)βπ∈，且a b ⊥，求β；（2）若=βα，求a b ⋅的取值范围.19.【重点中学盟校高三第一次联考】已知向量)7,1(1-=a ，)1,1(=d ，对任意*N n ∈都有a a n n +=+1. （1）求||n a 的最小值； （2）求正整数,m n ,使m n a a ⊥(第13题图)DCA20. 【石家庄市高中毕业班第一次模拟】已知O 为锐角△ABC 的外心，AB=6，AC=10，AO xAB yAC =+,且2x+10y=5，求边BC 的长.21.【南昌市高三第二次模拟】如图已知ABC △中，1,2,120AB AC BAC ==∠=︒，点M 是边BC 上的动点，动点N 满足30MAN ∠=︒（点,,A M N 按逆时针方向排列）．（1）若2AN AC =，求BN 的长；（2）若3AM AN ⋅=，求△ABN 面积的最大值． 22. 【鹰潭市高三第二次模拟考试】如图：()()3,,3,A m m Bn n -两点分别在射线,OS OT 上移动，且12OA OB ⋅=-,O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+（1）求点P 的轨迹C 的方程;（2）设01,2Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过Q 作（1）中曲线C 的两条切线，切点分别为,M N ，①求证:直线MN 过定点; ②若7OM ON ⋅=-,求0x 的值。

高考模拟复习试卷试题模拟卷ABCN一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）（()•吉林二模）已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁UM）∩N=（）A．{x|2≤x≤3} B．{x|2＜x≤3}C．{x|x≤﹣1，或2≤x≤3} D．{x|x＜﹣1，或2＜x≤3}2．（5分）（()•吉林二模）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）（()•吉林二模）在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（）A．3B．7C．10 D．114．（5分）（()•吉林二模）抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点，则p=（）A．B．C．D．5．（5分）（()•吉林二模）将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（）A．y=cos2x+sin2x B．y=cos2x﹣sin2xC．y=sin2x﹣cos2x D．y=cosxsinx6．（5分）（()•吉林二模）先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（()•濮阳县校级一模）一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．C．1D．8．（5分）（()•吉林二模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．20 B．30 C．40 D．509．（5分）（()•吉林二模）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角D﹣AC﹣B的余弦值为，则下列论断正确的是（）A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3πB．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4πC．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为D．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上10．（5分）（()•吉林二模）如图，在四面体OABC中，，则=（）A．8B．6C．4D．311．（5分）（()•南昌模拟）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）12．（5分）（()•吉林二模）若()=2a1+2a2+…+2an，其中a1，a2，…，an为两两不等的非负整数，令x=sin，y=cos，z=tan，则x，y，z的大小关系是（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．x＜z＜y D．y＜z＜x二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（()•吉林二模）将某班的60名学生编号为：01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是．14．（5分）（()•阳泉二模）设，则的展开式中含x2项的系数是．15．（5分）（()•吉林二模）在△ABC中，边上的高为，则AC+BC=．16．（5分）（()•吉林二模）若直角坐标平面内，A、B两点满足条件：①点A、B都在函数f（x）图象上；②点A、B关于原点对称，则称点对（A、B）是函数f（x）的一个“姐妹点对”（点对（A、B）与点（B、A）可看作同一个“姐妹对”）．已知函数，则f（x）的“姐妹点对”有个．三．解答题：（本大题共5小题，共60分）17．（12分）（()•长春二模）已知α为锐角，且tanα=﹣1，函数f（x）=2xtan2a+sin （2a+），数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn．18．（12分）（()•吉林二模）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．19．（12分）（•商丘一模）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量 1 1.5 2频数10 25 15频率0.2 a b（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．20．（12分）（()•吉林二模）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，求的最大值．21．（12分）（()•抚州模拟）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2 （Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）（•丹东一模）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．23．（()•吉林二模）已知某圆的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．24．（•丹东一模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．九校联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）（()•吉林二模）已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁UM）∩N=（）A．{x|2≤x≤3} B．{x|2＜x≤3}C．{x|x≤﹣1，或2≤x≤3} D．{x|x＜﹣1，或2＜x≤3}考点：补集及其运算；交集及其运算．专题：计算题；数形结合．分析：利用补集的定义求出集合M的补集；借助数轴求出（CuM）∩N解答：解：∵M={x|﹣l≤x≤2}，∴CuM={x|x＜﹣1或x＞2}∵N={x|x≤3}，∴（CuM）∩N={x|x＜﹣1，或2＜x≤3} 故选D．点评：本题考查利用数轴求集合间的交集、并集、补集运算．2．（5分）（()•吉林二模）已知复数z=，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：将复数进行化简，根据复数的几何意义即可得到结论．解答：解：z===，∴对应的点的坐标为（），位于第四象限，故选：D．点评：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的四则运算将复数进行化简是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）（()•吉林二模）在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（）A．3B．7C．10 D．11考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的公差，由已知条件列式求出公差，则a5可求．解答：解：设公差为d，则，解得，a1=﹣2，d=3，∴a5=a1+4d=﹣2+3×4=10．故选C．点评：本题考查了等差数列的通项公式，是基础的运算题．4．（5分）（()•吉林二模）抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2﹣y2=1的左焦点，则p=（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出x2﹣y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p的意义求出它的值．解答：解：双曲线x2﹣y2=1的左焦点为（﹣，0），故抛物线y2=2px的准线为x=﹣，∴=，p=2，故选C．点评：本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程 y2=2px中p的意义．5．（5分）（()•吉林二模）将函数y=sin2x+cos2x的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（）A．y=cos2x+sin2x B．y=cos2x﹣sin2xC．y=sin2x﹣cos2x D．y=cosxsinx考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据x以向右取正，以向左为负，所以它向右平移是加，用x+替换原式中的x即得．解答：解：由题意得，用x+替换原式中的x，有：y=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x﹣sin2x．故选B．点评：本题考查了三角函数的图象变换，三角函数的图象变换包括三种变换，我们分别把三种变换分别称为振幅变换、伸缩变换、平移变换．6．（5分）（()•吉林二模）先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题．分析：由题意知本题是一个等可能事件的概率，点数之和不大于6的事件可以列举出共有15种结果，满足条件的事件从前面列举出的事件中找出，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，点数之和不大于6的事件是（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5），（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（3，1）（3，2）（3，3）（4，1）（4，2）（5，1）共有15种结果，满足条件的事件是点数中有3，共有5种结果，∴先后出现的点数中有3的概率为故选C．点评：本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是不重不漏的列举出所有的事件，可以按照数字的大小顺序来列举．7．（5分）（()•濮阳县校级一模）一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．C．1D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知几何体是四棱锥，底面是直角梯形，一条侧棱垂直底面，应用公式求体积即可．解答：解：由三视图可知几何体是四棱锥，底面是直角梯形，上底为2、下底为4、高为1，一条侧棱垂直底面，长度是1，该几何体的体积是：．故选A．点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，是基础题．8．（5分）（()•吉林二模）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．20 B．30 C．40 D．50考点：循环结构．专图表型．题：分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S值，并输出T值．解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 s i T循环前 1 0 0第一圈是 7 3 3第二圈是 13 6 9第三圈是 19 9 18第四圈是 25 12 30第五圈否所以最后输出的T值为30．故选B．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．9．（5分）（()•吉林二模）一个空间四边形ABCD的四条边及对角线AC的长均为，二面角D﹣AC﹣B的余弦值为，则下列论断正确的是（）A．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为3πB．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为4πC．空间四边形ABCD的四个顶点在同一球上且此球的表面积为D．不存在这样的球使得空间四边形ABCD的四个顶点在此球面上考点：球的体积和表面积；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题．分析：由题意，求出BD的长，然后判断空间四边形ABCD的四个顶点是否在同一球面上，求出球的表面积即可．解答：解：如图AC=AB=AD=BC=CD=，cos∠DEB=，E为AC的中点，EB=ED=，所以BD2=2BE2﹣2××BE2BD=\sqrt{2}ABCD的几何体为正四面体，有外接球，球的半径为：球的表面积为：3π故选A点评：本题是基础题，考查二面角的求法，几何体的外接球的判断，以及外接球的表面积的求法，考查逻辑推理能力，计算能力，是好题．10．（5分）（()•吉林二模）如图，在四面体OABC中，，则=（）A．8B．6C．4D．3考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，求出•的表达式，再利用余弦定理求出cos∠AOC以及cos∠BOC 的值，即可得出答案．解答：解：∵•=•（﹣）=•﹣•=3||cos∠AOC﹣||cos∠BOC，且cos∠AOC==，cos∠BOC==；AC=BC，∴3||cos∠AOC﹣||cos∠BOC=3||×﹣||×=﹣=4；故选：C．点评：本题考查了平面向量数量积的运算以及余弦定理的应用问题，是易错题．11．（5分）（()•南昌模拟）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称．若对任意的x，y∈R，不等式f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，则当x＞3时，x2+y2的取值范围是（）A．（3，7）B．（9，25）C．（13，49）D．（9，49）考点：函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，结合图象平移的知识可知函数y=f （x）的图象关于点（0，0）对称，从而可知函数y=f（x）为奇函数，由f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立，可把问题转化为（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4，借助于的有关知识可求解答：解：∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）又∵f（x）是定义在R上的增函数且f（x2﹣6x+21）+f（y2﹣8y）＜0恒成立∴（x2﹣6x+21）＜﹣f（y2﹣8y）=f（8y﹣y2 ）恒成立∴x2﹣6x+21＜8y﹣y2∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＜4恒成立设M （x，y），则当x＞3时，M表示以（3，4）为圆心2为半径的右半圆内的任意一点，则x2+y2表示在半圆内任取一点与原点的距离的平方由图可知，最短距离为OA=，最大距离OB=OC+BC=5+2=7∴13＜x2+y2＜49故选 C点本题考查了函数图象的平移、函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识，解决问题的评：关键是把“数”的问题转化为“形”的问题，借助于图形的几何意义减少了运算量，体现“数形结合：及”转化”的思想在解题中的应用．12．（5分）（()•吉林二模）若()=2a1+2a2+…+2an，其中a1，a2，…，an为两两不等的非负整数，令x=sin，y=cos，z=tan，则x，y，z的大小关系是（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．x＜z＜y D．y＜z＜x考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：由题意()=2a1+2a2+…+2an，可变形为()=210+29+28+27+26+24+23+22+21，继而得到然后根据三角函数的函数值之间的关系即可得到结论．解答：解：∵()=2a1+2a2+…+2an，且a1，a2，…，an为两两不等的非负整数，∴()=210+29+28+27+26+24+23+22+21，∴=10+9+8+7+6+4+3+2+1=50，∴x=sin=sin50，y=cos=cos50，z=tan=tan50，∵50≈15π+2.9，∴x=sin50=sin（15π+2.9）=﹣sin2.9，y=cos50=cos（15π+2.9）=﹣cos2.9，z=tan50=tan（15π+2.9）=tan2.9＜0，∵∴tan2.9＜﹣1，﹣1＜﹣sin2.9＜0，﹣cos2.9＞0，∴tan2.9＜﹣sin2.9＜﹣cos2.9，∴tan50＜sin50＜cos50，∴z＜x＜y．故选：B．点评：本题考查了三角函数值的大小比较，关键是把=2a1+2a2+…+2an变形为()=210+29+28+27+26+24+23+22+21，综合性较强，难度较大．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）（()•吉林二模）将某班的60名学生编号为：01，02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是16、28、40、52．考点：系统抽样方法．专题：计算题．分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．解答：解：用系统抽样抽出的5个学生的号码从小到大成等差数列，随机抽得的一个号码为04则剩下的四个号码依次是16、28、40、52．故答案为：16、28、40、52点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．14．（5分）（()•阳泉二模）设，则的展开式中含x2项的系数是40．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：先利用定积分求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中含x2项的系数．解答：解：由于=（x3﹣2x）=4﹣（﹣1）=5，则的展开式的通项公式为Tr+1=•x5﹣r•2r•=•，令5﹣=2，解得 r=2，∴展开式中含x2项的系数是=40，故答案为：40点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．15．（5分）（()•吉林二模）在△ABC中，边上的高为，则AC+BC=．考点：解三角形；正弦定理；余弦定理．专题：计算题；压轴题．分析：求出三角形的面积，利用余弦定理，直接求出AC+BC的值．解答：解：由题意可知三角形的面积为：==，所以AC•BC=．由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=（AC+BC）2﹣3AC•BC，所以（AC+BC）2﹣3AC•BC=3，所以（AC+BC）2=11．所以AC+BC=．故答案为：．点评：本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，考查计算能力．16．（5分）（()•吉林二模）若直角坐标平面内，A、B两点满足条件：①点A、B都在函数f（x）图象上；②点A、B关于原点对称，则称点对（A、B）是函数f（x）的一个“姐妹点对”（点对（A、B）与点（B、A）可看作同一个“姐妹对”）．已知函数，则f（x）的“姐妹点对”有2个．考点：函数的图象．专题：新定义．分析：根据题意：“姐妹点对”，可知，欲求f（x）的“姐妹点对”，只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=（x≥0）交点个数即可．解答：解：根据题意：“姐妹点对”，可知，只须作出函数y=2x2+4x+1（x＜0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数y=（x≥0）交点个数即可．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“姐妹点对”有：2个．故答案为：2．点评：本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“姐妹点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．三．解答题：（本大题共5小题，共60分）17．（12分）（()•长春二模）已知α为锐角，且tanα=﹣1，函数f（x）=2xtan2a+sin （2a+），数列{an}的首项a1=1，an+1=f（an）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Sn．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用二倍角的正切可求得tan2α=1，α为锐角，可求得sin（2α+）=1，于是可知函数f（x）的表达式；（Ⅱ）依题意，可知数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是可求得an=2n﹣1，nan=n•2n﹣n，先用错位相减法求得{n•2n}的前n项和Tn，再利用分组求和法求得Sn．解答：解：（Ⅰ）∵tanα=﹣1，∴tan2α===1，又α为锐角，∴2α=，∴sin（2α+）=1，∴f（x）=2x+1；（Ⅱ）∵an+1=f（an）=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），∵a1=1，∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴an+1=2•2n﹣1=2n，∴an=2n﹣1，∴nan=n•2n﹣n，下面先求{n•2n}的前n项和Tn：Tn=1×2+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，2Tn=1×22+2×23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减得：﹣Tn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴Tn=2+（n﹣1）•2n+1，∴Sn=2+（n﹣1）•2n+1﹣．点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，求得an=2n﹣1是关键，也是难点，突出考查错位相减法与分组求和法，属于难题．18．（12分）（()•吉林二模）如图，四棱锥A﹣BCDE中，△ABC是正三角形，四边形BCDE是矩形，且平面ABC⊥平面BCDE，AB=2，AD=4．（1）若点G是AE的中点，求证：AC∥平面BDG；（2）试问点F在线段AB上什么位置时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面BCE和CEF的法向量，利用向量法求二面角的大小，解方程即可得出．解答：解：（1）证明：连接CE、BD，设CE∩BD=O，连接OG，由三角形的中位线定理可得：OG∥AC，∵AC⊄平面BDG，OG⊂平面BDG，∴AC∥平面BDG．（2）∵平面ABC⊥平面BCDE，DC⊥BC，∴DC⊥平面ABC，∴DC⊥AC，则△ACD为直角三角形．∵△ABC是正三角形，∴取BC的中点M，连结MO，则MO∥CD，∴MO⊥面ABC，以M为坐标原点，以MB，M0，MA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=2，AD=4，∴AM=，∴B（1，0，0），C（﹣1，0，0），A（0，0，），在Rt△ACD中，CD=．∴BE=CD=，即E（1，2，0）则，∵点F在线段AB上，∴设BF=xBA，（0≤x≤1）则∴F（1﹣x，0，），则，，设面CEF的法向量为，则由得，，令a=，则b=﹣1，c=，即，平面BCE的法向量为，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为，即，∴，平方得，解得：，解得x=﹣1（舍去）或x=．即F是线段AB的中点时，二面角B﹣CE﹣F的余弦值为．点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理，以及利用向量法解决二面角的大小问题，综合性较强，运算量较大．19．（12分）（•商丘一模）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的结果如下：日销售量 1 1.5 2频数10 25 15频率0.2 a b（1）求表中a，b的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的a，b．（2）①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率．②写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率．列出分布列，求得期望．解答：解：（1）∵=50∴a==0.5，b==0.3（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X～B（5，0.5）P（X=2）=C52×0.52×（1﹣0.5）3=0.3125②X的可能取值为4，5，6，7，8，则p（X=4）=0.22=0.04p（X=5）═2×0.2×0.5=0.2p（X=6）═0.52+2×0.2×0.3=0.37p（X=7）═2×0.3×0.5=0.3p（X=8）=0.32=0.09所有X的分布列为：X 4 5 6 7 8P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2．点评：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力．20．（12分）（()•吉林二模）已知点F（0，1），直线l：y=﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l1，|DB|=l2，求的最大值．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：计算题；数形结合；转化思想．分析：（1）先设出点P的坐标，代入整理即可得到动点P的轨迹C的方程；（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及|DA|=l1，|DB|=l2的表达式，代入整理后利用基本不等式求最大值即可．解答：（1）解：设P（x，y），则Q（x，﹣1），∵，∴（0，y+1）•（﹣x，2）=（x，y﹣1）•（x，﹣2）．即2（y+1）=x2﹣2（y﹣1），即x2=4y，所以动点P的轨迹C的方程x2=4y．（2）解：设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a2=4b．①圆M的半径为．圆M的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=a2+（b﹣2）2．令y=0，则（x﹣a）2+b2=a2+（b﹣2）2，整理得，x2﹣2ax+4b﹣4=0．②由①、②解得，x=a±2．不妨设A（a﹣2，0），B（a+2，0），∴，．∴=，③当a≠0时，由③得，．当且仅当时，等号成立．当a=0时，由③得，．故当时，的最大值为．点评：本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力21．（12分）（()•抚州模拟）已知函数f（x）=（m，n∈R）在x=1处取到极值2 （Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设函数g（x）=ax﹣lnx．若对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数在某点取得极值的条件．专题：综合题．分析：（I）由已知中，函数，易求出导函数的解析式，再由函数在x=1处取到极值2，其导函数在x=1处等0，易构造一个关于m的方程，解方程求出m值，即可得到f（x）的解析式；（Ⅱ）由（I）我们可以求出函数导函数的解析式，进而可分别出函数f（X）的单调性，由此易判断f（x）在区间[，2]上的值域，由对任意的，总存在唯一的，使得g（x2）=f（x1），及函数g（x）=ax﹣lnx．我们分别对a值与e及e2的关系进行分类讨论，即可得到满足条件的实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）==f（x）在x=1处取到极值2，故f′（1）=0，f（1）=2即，解得m=4，n=1，经检验，此时f（x）在x=1处取得极值．故（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故f（x）在上单调递增，在（1，2）上单调递减，由，故f（x）的值域为依题意，记，∵x∈M∴（ⅰ）当a≤e时，g'（x）≤0，g（x），依题意由得，故此时（ⅱ）当e＜a≤e2时，＞＞当时，g′（x）＜0，当时，g′（x）＞0．依题意由，得，即．与a＞e矛盾（ⅲ）当a＞e2时，＜，此时g′（x）＞0，g（x）．依题意得即此不等式组无解综上，所求a取值范围为0＜a≤ e点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上函数的最值，函数解析式的求解及常用方法，函数在某点取得极值的条件，其中根据已知条件构造关于m的方程，进而求出函数f（x）的解析式是解答的关键．选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）（•丹东一模）已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点．（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC；（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题；数形结合．分析：（Ⅰ）证明BD平分∠ABC可通过证明D是的中点，利用相等的弧所对的圆周角相等证明BD是角平分线；（Ⅱ）由图形知，可先证△ABH∽△DBC，得到，再由等弧所对的弦相等，得到AD=DC，从而得到，求出AH的长解答：解：（Ⅰ）∵AC∥DE，直线DE为圆O的切线，∴D是弧的中点，即又∠ABD，∠DBC与分别是两弧所对的圆周角，故有∠ABD=∠DBC，所以BD平分∠ABC（Ⅱ）∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC∴△ABH∽△DBC，∴又∴AD=DC，∴∵AB=4，AD=6，BD=8∴AH=3点评：本题考查与圆有关的比例线段，解题的关键是对与圆有关性质掌握得比较熟练，能根据这些性质得出角的相等，边的相等，从而使问题得到证明24．（•丹东一模）已知关于x的不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，由此求得不等式的解集．（2）不等式|ax﹣1|+|ax﹣a|≥1解集为R，等价于|a﹣1|≥1，由此求得实数a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，可得2|x﹣1|≥1，即，解得，。