关于有限元分析法及其应用举例摘要：本文主要介绍有限元分析法，作为现代设计理论与方法的一种，已经在众多领域普遍使用。

介绍了它的起源和国内外发展现状。

阐述了有限元法的基本思想和设计方法。

并从实际出发，例举了有限元法的一个简单应用———啤酒瓶的应力分析和优化,表明了利用有限元分析法的众多优点。

随着计算机的发展，基于有限元分析方法的软件开发越来越多。

本文也在其软件开发方面进行阐述，并简单介绍了一下主流软件的发展情况和使用范围。

并就这一领域的未来发展趋势进行阐述。

关键词：有限元分析法软件啤酒瓶Abstract：This thesis mainly introduces the finite element analysis, as a moderndesign theory and methods used widely in in most respects. And this paperintroduces its origins and development in world. It also expounds the basic thinkingand approach of FEM..Proceed from the actual situation,this text holds the a simpleapplication of finite-element method———the analysis and optimized of an beerbottle and indicate the the numerous benefits of finite element analysis .Ascomputers mature and based on the finite element analysis of the softwaredevelopment is growing. This article introduces its application in the softwaredevelopment aspects as well, and briefly states the development and scope of themainstream software. And it’s also prospect future development tendency in thisarea .Key: Finite Element Analysis Software Beer bottle0 绪论有限元法(Finite Element Method，FEM)，是计算力学中的一种重要的方法，它是20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。

有限元法最初应用在工程科学技术中，用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。

对于过去用解析方法无法求解的问题和边界条件及结构形状都不规则的复杂问题，有限元法则是一种有效的分析方法。

有限元法的基本思想是先将研究对象的连续求解区域离散为一组有限个且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。

由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟成不同几何形状的求解小区域；然后对单元(小区域)进行力学分析，最后再整体分析。

这种化整为零，集零为整的方法就是有限元的基本思路。

（1）就国外发展来说，20世纪50年代，有限元法作为处理固体力学问题的方法出现。

1943年，Courant第一次提出单元概念[1]。

1945～1955年，Argyris等人在结构矩阵分析方面取得了很大进展⋯。

1956年，Turner、Clough等人把刚架位移法的思路推广应用于弹性力学平面问题⋯。

1960年，Clough首先把解决弹性力学平面问题的方法称为“有限元法-D]，并描绘为“有限元法一Rayleigh Ritz 法+分片函数”。

FEM 理论研究的重大进展，引起了数学界的高度重视。

自2O世纪6O年代以来，人们加强了对FEM 数学基础的研究。

如大型线性方程组和特征值问题的数值方法、离散误差分析、解的收敛性和稳定性等。

FEM 理论研究成果为其应用奠定了基础，计算机技术的发展为其提供了条件。

20世纪70年代以来，相继出现了一些通用的有限元分析(FEA：Finite Element Analysis)系统，如SAP、ASKA、NASTRAN等，这些FEA 系统可进行航空航天领域的结构强度、刚度分析，从而推动了FEM 在工程中的实际应用。

20世纪80年代以来，随着工程工作站的出现和广泛应用，原来运行于大中型机上的FEA系统得以在其上运行，同时也出现了一批通用的FEA系统，如ANSYS—PC、NISA，SUPERSAP等[ 。

20世纪90年代以来，随着微机性能的显著提高，大批FEA系统纷纷向微机移植，出现了基于Windows的微机版FEA系统。

（2）就我国有限元法的发展，是从八十年代开始的。

在1981年ADINA飞线性结构分析程序的引进，一时间许多一直无法解决的工程难题都迎刃而解。

大家也都开始认识到有限元分析程序的确是工程师应用计算机进行分析计算的重要工具。

但是当时限于国内大中型计算机很少，大约只有杭州汽轮器厂的Siemens7738和沈阳鼓风机厂的IBM4310安装有上述程序，所以用户算题非常不方便，而且费用昂贵。

PC机的出现及其性能奇迹般的提高，为移植和发展PC版的有限元程序提高了必要的运行平台，可以说国内FEA软件的发展一直是围绕着PC平台做文章。

在国内开发比较成功并拥有较多用户的有限元分析系统有大连理工大学工程力学系的FIFEX95、北京大学力学与科学工程系的SAP84,中国农机科学研究院的MAS5.0和杭州自动化技术研究院的MFEP4.0等。

我们现在正处在学习和追赶世界发展水平的阶段。

1 有限元分析法的基本思想和设计方法1.1 有限元基本思想有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本思想是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。

它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。

这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。

由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

（1）物体离散化将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一部称作单元部分。

离散后单元于单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算进度而定。

用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。

如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

（2）分析单元的力学性质根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。

此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。

（3）选择位移模式位移法：选择节点位移作为基本未知量称为位移法；力法：选择节点力作为基本未知量时称为力法；混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。

位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。

（4）计算等效节点力物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。

但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。

因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上得力。

（5）单元组集利用结构力的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程：KU=F式中：K是结构的总体刚度矩阵；U是节点位移列阵；F是载荷列阵。

确定总体刚度方程的方法有三种：1.直接利用总体刚度系数的定义在求出整体结构中各节点力和节点位移关系的基础上获得总体刚度矩阵。

此方法只在简单情况下才能采用。

2.集成法将整体坐标系的单元刚度矩阵按照节点编码顺序对号入座，迭加形成总体刚度矩阵。

3.利用节点间的刚度系数直接写出总体刚度矩阵总体刚度矩阵对角线上的刚度系数Kij等于连接节点i和节点j之间几个单元的刚度系数之和。

（6）求解未知节点位移可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。

节点的支撑条件有两种：一种是节点沿某个方向的位移为零，另一种是节点沿某个方向的唯一为一给定值。

（7）计算单元内部应力和应变根据求解的节点位移，采用所选定的位移函数，计算单元内非节点处的应力和应变。

通过上述分析，可以看出，有限元法的基础思想是“一分一合”。

分是为了进行单元划分，合则是为了对整体结构进行综合分析。

1.2 设计方法（1）划分单元网格，并按照一定的规律对单元和结点编号（2）选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。

（3）使用已经编好的程序进行上机计算。

计算程序中对输入的各种信息进行加工、运算。

（4）对计算成果进行整理、分析，用表格或图线示出所需的位移及应力。

事实上，当划分的区域足够小，每个区域内的变形和应力总是趋于简单，计算的结果也就越接近真实情况。

理论上可以证明，当单元数目足够多时，有限单元解将收敛于问题的精确解，但是计算量相应增大。

为此，实际工作中总是要在计算量和计算精度之间找到一个平衡点。

有限元法中的相邻的小区域通过边界上的结点联接起来，可以用一个简单的插值函数描述每个小区域内的变形和应力，求解过程只需要计算出结点处的应力或者变形，非结点处的应力或者变形是通过函数插值获得的，换句话说，有限元法并不求解区域内任意一点的变形或者应力。

大多数有限元程序都是以结点位移作为基本变量，求出结点位移后再计算单元内的应力，这种方法称为位移法。

有限元法本质上是一种微分方程的数值求解方法，认识到这一点以后，从70年代开始，有限元法的应用领域逐渐从固体力学领域扩展到其它需要求解微分方程的领域，如流体力学、传热学、电磁学、声学等。

2 有限元分析法的应用优点有限元法的优点是解题能力强，可以比较精确地模拟各种复杂的曲线或曲面边界，网格的划分比较随意，可以统一处理多种边界条件，离散方程的形式规范，便于编制通用的计算机程序，在固体力学方程的数值计算方面取得巨大的成功。

但是在应用于流体流动和传热方程求解的过程中却遇到一些困难，其原因在于，按加权余量法推导出的有限元离散方程也只是对原微分方程的数学近似。

当处理流动和传热问题的守恒性、强对流、不可压缩条件等方面的要求时，有限元离散方程中的各项还无法给出合理的物理解释。