2020高考仿真模拟(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，则i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2019等于( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 D解析 由于i ＋i 2＋i 3＋i 4＝i －1－i ＋1＝0，且i n (n ∈N *)的周期为4,2019＝4×504＋3，所以原式＝i ＋i 2＋i 3＝i －1－i ＝－1.故选D.2．集合A ＝{y |y ＝2cos 2x ＋1}，B ＝{x |log 2(x ＋2)＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,3] B ．(0,2] C ．[1,2) D ．(2,3]答案 C解析 因为A ＝{y |y ＝2cos 2x ＋1}＝{y |y ＝cos2x ＋2}＝[1,3]，B ＝{x |log 2(x ＋2)＜2}＝{x |0＜x ＋2＜4}＝(－2，2)，所以A ∩B ＝[1,2)，故选C.3．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1答案 C解析 若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x2－x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，推不出m >14，即推不出不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0.4．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是( )A.23B.12C.14D.16 答案 B解析 从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄，白}，{黄，蓝}，{黄，红}，{白，蓝}，{白，红}，{蓝，红}，共6种，这6种基本事件发生的可能性是相等的．其中包含白色的有3种，所以选中白色的概率为12，故选B.5．《周髀算经》是我国古代的天文学和数学著作．其中有一个问题大意为：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同(即太阳照射物体影子的长度增加和减少大小相同)．二十四个节气及晷长变化如图所示，若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至后的那个节气(小暑)晷长为( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸答案 B解析 设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.∴a 2＝15＋10＝25，∴《周髀算经》中所记录的小暑的晷长是25寸，即二尺五寸．故选B.6．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )答案 B解析 ∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ，C ；又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x ＞e 0＝1，21＋e x －1＜0，cos x ＞0，∴f (x )＜0，排除D ，故选B.7．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)·e －|x |(A >0，ω>0,0<φ<π)的图象如图所示，则Aω的可能取值为( )A.π2 B ．πC.3π2D ．2π答案 B解析 ∵f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )为偶函数，∴φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π2，∴f (x )＝A cos ωx ·e－|x |，∵f (0)＝2，∴A ＝2，∵f (1)＝f (3)＝0，∴cos ω·1e ＝cos3ω·1e 3＝0，∴cos ω＝cos3ω＝0，取ω＝π2，则Aω＝π.故选B.8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于( )A ．72B ．48C ．24D ．16 答案 C9．已知等边△ABC 的边长为2，点E ，F 分别在边AB ，AC 上，且AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，若EB →·FC →＝23，EC →·FB →＝－1，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.712答案 C解析 ∵等边三角形ABC 的边长为2，∴AB →·AC →＝BA →·BC →＝CA →·CB →＝2，又AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，∴EC →＝EB →＋BC →＝BC →＋(1－λ)AB →，FB →＝FC →＋CB →＝(1－μ)AC →－BC →，∴EB →·FC →＝(1－λ)·AB →·(1－μ)AC →＝(1－μ)(1－λ)AB →·AC →＝2(1－μ)(1－λ)＝23，EC →·FB →＝[BC →＋(1－λ)AB →]·[(1－μ)AC →－BC →]＝－4＋2(1－μ)(1－λ)＋2(1－λ)＋2(1－μ)＝－1，∴2(1－λ)＋2(1－μ)＝3－23＝73，∴λ＋μ＝56，故选C.10．实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时，目标函数z ＝mx ＋y 的最大值等于5，则实数m 的值为( )A ．－1B ．－12 C ．2 D ．5答案 B解析 实数x ，y 满足|x ＋1|≤y ≤－12x ＋1时，表示的平面区域如图中阴影部分所示，易得A (－1,0)，B (0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝－12x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴C (－4,3)．目标函数z ＝mx ＋y ，∴y ＝－mx ＋z ，当m >12时，直线过点B 时，z 取得最大值，此时z＝1，与z 取得最大值5矛盾，舍去；当0<m <12时，直线过点C 时，z 取得最大值5，∴－4m ＋3＝5，∴m＝－12不成立，舍去；当m ＝0或12时，易验证z 的最大值不可能等于5；当m <0时，直线过点C 时，z 取得最大值5，∴－4m ＋3＝5，∴m ＝－12成立．故选B.11．若x ，y ，z ∈R ＋，且3x＝4y＝12z，x ＋yz∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C解析 设3x＝4y＝12z＝t (t >1)，则x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 12t ，∴x ＋yz＝ log 3t ＋log 4t log 12t ＝log 3t log 12t ＋log 4tlog 12t＝log 312＋log 412＝2＋log 34＋log 43.∵1<log 34<2,0<log 43<1，∴1<log 34＋log 43<3；又log 34＋log 43>2log 34·log 43＝2，∴2<log 34＋log 43<3，∴4<2＋log 34＋log 43<5，即x ＋yz∈(4,5)．∴n ＝4.故选C. 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x ＋mx ＋m 2，x <0，e x x －1，x ≥0(e 为自然对数的底数)，若方程f (－x )＋f (x )＝0有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，e)B ．(e ，＋∞)C ．(0,2e)D ．(2e ，＋∞)答案 D解析 因为函数F (x )＝f (－x )＋f (x )是偶函数，F (0)≠0，所以零点成对出现，依题意，方程f (－x )＋f (x )＝0有两个不同的正根，又当x >0时，f (－x )＝e x －mx ＋m 2，所以方程可以化为e x －mx ＋m2＋x e x－e x ＝0，即x e x ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，记g (x )＝x e x (x >0)，则g ′(x )＝e x(x ＋1)>0，设直线y ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12与g (x )图象相切时的切点为(t ，t e t )，则切线方程为y －t e t ＝e t(t ＋1)(x －t )，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以－t e t ＝e t (t ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t ⇒t ＝1或－12(舍去)，所以切线的斜率为2e ，由图象可以得m >2e.故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝1－ln x2x－2的定义域为________． 答案 (0,1)∪(1，e]解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，1－ln x ≥0，2x －2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，0＜x ≤e，x ≠1，即函数的定义域为(0,1)∪(1，e]．14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x－1，x ≤0，x 12 ，x >0在区间[－1，m ]上的最大值是1，则m的取值范围是________．答案 (－1,1]解析 作出函数f (x )的图象，如图所示，可知当－1<m ≤1时，f (x )在[－1，m ]上的最大值是1.15．在△ABC 中，点D 是BC 的中点，若AB ⊥AD ，∠CAD ＝30°，BC ＝27，则△ABC 的面积为________． 答案 2 3解析 因为D 是BC 的中点，所以S △ABC ＝2S △ABD ，即12AB ·AC sin120°＝2×12AB ·AD ，所以AD ＝34AC ，于是在△ACD 中，CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD cos ∠CAD ，即(7)2＝AC 2＋316AC 2－2AC ·34AC ·32，解得AC ＝4，所以AD ＝3，于是S △ABC ＝2S △ADC ＝2×12×3×4×12＝2 3.16．已知三棱锥P －ABC ，△ABC 为等边三角形，△PAC 为直角三角形，∠PAC ＝90°，∠PCA ＝45°，平面PAC ⊥平面ABC ，若AB ＝3，则三棱锥P －ABC 外接球的表面积为________．答案 21π解析 由∠PAC ＝90°，平面PAC ⊥平面ABC ，可知PA ⊥平面ABC ，球心在经过△ABC 的中心且垂直面ABC 的垂线上，也在线段PA 的中垂面上，故二者交点即球心，因为∠PCA ＝45°，所以PA ＝3，所以三棱锥P －ABC 外接球的半径R 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋(3)2＝214，所以外接球的表面积为S ＝4πR 2＝21π.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝－1na n2，求数列{b n }的前n 项和S n .解 (1)a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n2n ＝n 2＋n ，①∴当n ≥2时，a 12＋a 222＋a 323＋…＋a n －12n －1＝(n －1)2＋n －1，②①－②，得a n2n ＝2n (n ≥2)，∴a n ＝n ·2n ＋1(n ≥2)．当n ＝1时，a 12＝1＋1，a 1＝4也适合，∴a n ＝n ·2n ＋1.(2)由(1)得，b n ＝－1na n2＝n (－2)n，∴S n ＝1×(－2)1＋2×(－2)2＋3×(－2)3＋…＋n ×(－2)n，③－2S n ＝1×(－2)2＋2×(－2)3＋3×(－2)4＋…＋(n －1)×(－2)n ＋n ×(－2)n ＋1，④③－④得，3S n ＝(－2)＋(－2)2＋(－2)3＋…＋(－2)n －n ×(－2)n ＋1＝－2[1－－2n]3－n ×(－2)n ＋1， ∴S n ＝－3n ＋1－2n ＋1＋29.18．(本小题满分12分)新个税法于2019年1月1日进行实施．为了调查国企员工对新个税法的满意程度，研究人员在A 地各个国企中随机抽取了1000名员工进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a ＝4b .(1)求a ，b 的值并估计被调查的员工的满意程度的中位数；(计算结果保留两位小数)(2)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．解 (1)依题意，(a ＋0.008＋0.035＋0.027＋b )×10＝1，所以a ＋b ＝0.03. 又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006.因为0.08＋0.24<0.5,0.08＋0.24＋0.35>0.5，所以中位数在第三组， 所以中位数为70＋0.5－0.08－0.240.035≈75.14.(2)依题意，知分数在[50,60)的员工抽取了2人，记为a ，b ，分数在[60,70)的员工抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人，所有的情况为(a ，b )，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共28种，这28种情况发生的可能性是相等的．其中满足条件的为(a ，b )，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种，设“至少有1人的分数在[50,60)”的事件为A ，则P (A )＝1328.19．(本小题满分12分)如图所示，三棱锥P －ABC 放置在以AC 为直径的半圆面O 上，O 为圆心，B为圆弧AC ︵上的一点，D 为线段PC 上的一点，且AB ＝BC ＝PA ＝3，PB ＝32，PA ⊥BC .(1)求证：平面BOD ⊥平面PAC ；(2)当PC →＝2PD →时，求三棱锥C －BOD 的体积． 解 (1)证明：由AB ＝PA ＝3，PB ＝32， ∴PA 2＋AB 2＝PB 2，∴PA ⊥AB ，又PA ⊥BC 且AB ∩BC ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴PA ⊥平面ABC . ∵BO ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BO ，由BA ＝BC ，O 为圆心，AC 为直径，所以BO ⊥AC . 因AC ∩PA ＝A ，故BO ⊥平面PAC ，又BO ⊂平面BOD ，所以平面BOD ⊥平面PAC . (2)由PC →＝2PD →，知D 为PC 的中点，而O 为圆心，AC 为直径，所以PA ∥DO ，所以DO ⊥平面ABC ， 因为PA ＝3，所以DO ＝32，由题意知∠ABC ＝90°，所以S △ABC ＝12×3×3＝92，由等体积法知V 三棱锥C －BOD ＝V 三棱锥D －BOC ＝13×S △BOC ·DO ＝13×12×92×32＝98.故三棱锥C －BOD 的体积为98.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ln x －x 2＋12a (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≤0，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a x －2x ＝a －2x 2x，当a ≤0时，f ′(x )<0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当a >0时，令f ′(x )＝0得x ＝a2(负根舍去)．令f ′(x )>0得0<x < a2；令f ′(x )<0得x >a2，∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递减．(2)当a ＝0时，f (x )＝－x 2<0，符合题意． 当a >0时，f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a lna 2－a 2＋a2＝a ln a2≤0， ∵a >0，∴lna2≤0，∴0< a2≤1，∴0<a ≤2. 当a <0时，f (x )＝a ln x －x 2＋12a 在(0，＋∞)上单调递减，且y ＝a ln x 与y ＝x 2－12a 的图象在(0，＋∞)上只有一个交点，设此交点为(x 0，y 0)，则当x ∈(0，x 0)时，f (x )>0，故当a <0时，不满足f (x )≤0. 综上，a 的取值范围为[0,2]．21．(本小题满分12分)如图，已知直线l ：y ＝kx ＋1(k >0)关于直线y ＝x ＋1对称的直线为l 1，直线l ，l 1与椭圆E ：x 24＋y 2＝1分别交于点A ，M 和A ，N ，记直线l 1的斜率为k 1.(1)求k ·k 1的值；(2)当k 变化时，试问直线MN 是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由． 解 (1)设直线l 上任意一点P (x ，y )关于直线y ＝x ＋1对称的点为P 0(x 0，y 0)，直线l 与直线l 1的交点为(0,1)，∴l ：y ＝kx ＋1，l 1：y ＝k 1x ＋1，k ＝y －1x ，k 1＝y 0－1x 0， 由y ＋y 02＝x ＋x 02＋1，得y ＋y 0＝x ＋x 0＋2， ① 由y －y 0x －x 0＝－1，得y －y 0＝x 0－x, ② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 0＋1，y 0＝x ＋1，kk 1＝yy 0－y ＋y 0＋1xx 0＝x ＋1x 0＋1－x ＋x 0＋2＋1xx 0＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 24＋y 2＝1得(4k 2＋1)x 2＋8kx ＝0， 设M (x M ，y M )，N (x N ，y N )，∴x M ＝－8k 4k 2＋1， ∴y M ＝1－4k 24k 2＋1. 同理可得x N ＝－8k 14k 21＋1＝－8k 4＋k 2，y N ＝1－4k 214k 21＋1＝k 2－44＋k 2. k MN ＝y M －y N x M －x N ＝1－4k 24k 2＋1－k 2－44＋k 2－8k 4k 2＋1－－8k 4＋k2＝8－8k 48k 3k 2－3＝－k 2＋13k ， 直线MN ：y －y M ＝k MN (x －x M )，即y －1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －－8k 4k 2＋1， 即y ＝－k 2＋13k x －8k 2＋134k 2＋1＋1－4k 24k 2＋1＝－k 2＋13k x －53. ∴当k 变化时，直线MN 过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，－53. 请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ(1＋cos2θ)＝8sin θ.(1)求曲线C 的普通方程；(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，直线l 与y 轴交于点F ，与曲线C 的交点为A ，B ，当|FA |·|FB |取最小值时，求直线l 的直角坐标方程．解 (1)由题意得ρ(1＋cos2θ)＝8sin θ，得2ρcos 2θ＝8sin θ，得ρ2cos 2θ＝4ρsin θ，∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴x 2＝4y ，即曲线C 的普通方程为x 2＝4y .(2)由题意可知，直线l 与y 轴交于点F (0,1)，即为抛物线C 的焦点，令|FA |＝|t 1|，|FB |＝|t 2|，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α 代入C 的普通方程x 2＝4y 中，整理得t 2cos 2α－4t sin α－4＝0，由题意得cos α≠0，根据根与系数的关系得， t 1＋t 2＝4sin αcos 2α，t 1t 2＝－4cos 2α， ∴|FA ||FB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝4cos 2α≥4(当且仅当cos 2α＝1时，等号成立)， ∴当|FA |·|FB |取得最小值时，直线l 的直角坐标方程为y ＝1.23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －1|－|x ＋1|.(1)当m ＝5时，求不等式f (x )>2的解集；(2)若二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．解 (1)当m ＝5时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋2x x <－1，3－1≤x ≤1，5－2x x >1，由f (x )>2得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32<x <32. (2)由二次函数y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，知函数在x ＝－1处取得最小值2，因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋2x x <－1，m －2－1≤x ≤1，m －2x x >1在x ＝－1处取得最大值m －2， 所以要使二次函数y ＝x 2＋2x ＋3与函数y ＝f (x )的图象恒有公共点，只需m －2≥2，即m ≥4.。